Calcule a variação das imagens, considerando os respectivos domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a variação das imagens da função no intervalo onde varia de a . Basicamente, queremos descobrir quais são os valores que pode assumir quando está entre e . Para isso, vamos precisar entender sobre funções quadráticas e como encontrar seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função quadrática do tipo , onde , , e . Como o coeficiente é negativo ( ), sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo. Isso significa que a função terá um ponto máximo.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o vértice da parábola, que nos dará o valor máximo da função. Para uma função quadrática , o valor de no vértice é dado por . No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora que sabemos que o vértice está em , vamos calcular o valor de nesse ponto:
Então, o valor máximo da função no intervalo é .

Passo 5

Para encontrar o valor mínimo da função no intervalo , vamos calcular o valor de nos extremos desse intervalo.
Primeiro, para :
Segundo, para :

Passo 6

Comparando os valores calculados, vemos que o menor valor de no intervalo é e o maior é .

Resposta

A variação das imagens da função no intervalo de de a é de a .

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