Calcule varphi(n) para n=1,2, ldots, 20 e varphi(347), varphi(312).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a função de Euler, representada por varphi(n), para vários valores de n: de 1 a 20, além de n = 347 e n = 312. A função varphi(n) conta quantos números inteiros de 1 até n são coprimos com n (ou seja, que não têm nenhum divisor comum com n além de 1). Para resolver isso, vamos precisar conhecer os fatores primos de cada número, porque a fórmula da função de Euler depende da fatoração em primos.

Passo 2

Vamos começar calculando varphi(n) para valores de n de 1 a 20. A fórmula que vamos usar é:
varphi(n) = n times (1 - 1p1) times (1 - 1p2) times cdots times (1 - 1pk)
onde p1, p2, ldots, pk são os fatores primos distintos de n.

Passo 3

Vamos calcular varphi(n) para cada n de 1 a 20:
  1. varphi(1): Por definição, varphi(1) = 1.
  2. varphi(2): 2 é primo, então varphi(2) = 2 times (1 - 12) = 1.
  3. varphi(3): 3 é primo, então varphi(3) = 3 times (1 - 13) = 2.
  4. varphi(4): 4 = 2^2, então varphi(4) = 4 times (1 - 12) = 2.
  5. varphi(5): 5 é primo, então varphi(5) = 5 times (1 - 15) = 4.
  6. varphi(6): 6 = 2 times 3, então varphi(6) = 6 times (1 - 12) times (1 - 13) = 2.
  7. varphi(7): 7 é primo, então varphi(7) = 7 times (1 - 17) = 6.
  8. varphi(8): 8 = 2^3, então varphi(8) = 8 times (1 - 12) = 4.
  9. varphi(9): 9 = 3^2, então varphi(9) = 9 times (1 - 13) = 6.
  10. varphi(10): 10 = 2 times 5, então varphi(10) = 10 times (1 - 12) times (1 - 15) = 4.
  11. varphi(11): 11 é primo, então varphi(11) = 11 times (1 - 111) = 10.
  12. varphi(12): 12 = 2^2 times 3, então varphi(12) = 12 times (1 - 12) times (1 - 13) = 4.
  13. varphi(13): 13 é primo, então varphi(13) = 13 times (1 - 113) = 12.
  14. varphi(14): 14 = 2 times 7, então varphi(14) = 14 times (1 - 12) times (1 - 17) = 6.
  15. varphi(15): 15 = 3 times 5, então varphi(15) = 15 times (1 - 13) times (1 - 15) = 8.
  16. varphi(16): 16 = 2^4, então varphi(16) = 16 times (1 - 12) = 8.
  17. varphi(17): 17 é primo, então varphi(17) = 17 times (1 - 117) = 16.
  18. varphi(18): 18 = 2 times 3^2, então varphi(18) = 18 times (1 - 12) times (1 - 13) = 6.
  19. varphi(19): 19 é primo, então varphi(19) = 19 times (1 - 119) = 18.
  20. varphi(20): 20 = 2^2 times 5, então varphi(20) = 20 times (1 - 12) times (1 - 15) = 8.

Passo 4

Agora, vamos calcular varphi(347) e varphi(312).
Para varphi(347):
347 é um número primo (não tem divisores além de 1 e ele mesmo). Então:
varphi(347) = 347 times (1 - 1347) = 346
Para varphi(312):
Primeiro, vamos fatorar 312 em fatores primos:
312 = 2^3 times 3 times 13
Aplicando a fórmula da função de Euler:
varphi(312) = 312 times (1 - 12) times (1 - 13) times (1 - 113) = 312 times 12 times 23 times 1213 = 96

Resposta

Os valores de varphi(n) são:
  • Para n = 1 a 20:
    • varphi(1) = 1
    • varphi(2) = 1
    • varphi(3) = 2
    • varphi(4) = 2
    • varphi(5) = 4
    • varphi(6) = 2
    • varphi(7) = 6
    • varphi(8) = 4
    • varphi(9) = 6
    • varphi(10) = 4
    • varphi(11) = 10
    • varphi(12) = 4
    • varphi(13) = 12
    • varphi(14) = 6
    • varphi(15) = 8
    • varphi(16) = 8
    • varphi(17) = 16
    • varphi(18) = 6
    • varphi(19) = 18
    • varphi(20) = 8
  • Para n = 347 e n = 312:
    • varphi(347) = 346
    • varphi(312) = 96

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