Calcule
para
e
,
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a função de Euler, representada por
, para vários valores de
: de 1 a 20, além de
e
. A função
conta quantos números inteiros de 1 até
são coprimos com
(ou seja, que não têm nenhum divisor comum com
além de 1). Para resolver isso, vamos precisar conhecer os fatores primos de cada número, porque a fórmula da função de Euler depende da fatoração em primos.
Passo 2
Vamos começar calculando
para valores de
de 1 a 20. A fórmula que vamos usar é:
onde
são os fatores primos distintos de
.
Passo 3
Vamos calcular
para cada
de 1 a 20:
-
: Por definição, . -
: 2 é primo, então . -
: 3 é primo, então . -
: 4 = , então . -
: 5 é primo, então . -
: 6 = , então . -
: 7 é primo, então . -
: 8 = , então . -
: 9 = , então . -
: 10 = , então . -
: 11 é primo, então . -
: 12 = , então . -
: 13 é primo, então . -
: 14 = , então . -
: 15 = , então . -
: 16 = , então . -
: 17 é primo, então . -
: 18 = , então . -
: 19 é primo, então . -
: 20 = , então .
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
.
Para
:
347 é um número primo (não tem divisores além de 1 e ele mesmo). Então:
347 é um número primo (não tem divisores além de 1 e ele mesmo). Então:
Para
:
Primeiro, vamos fatorar 312 em fatores primos:
Primeiro, vamos fatorar 312 em fatores primos:
Aplicando a fórmula da função de Euler:
Resposta
Os valores de
são:
-
Para
a : -
-
Para
e : -