Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a função de Euler, representada por , para vários valores de : de 1 a 20, além de e . A função conta quantos números inteiros de 1 até são coprimos com (ou seja, que não têm nenhum divisor comum com além de 1). Para resolver isso, vamos precisar conhecer os fatores primos de cada número, porque a fórmula da função de Euler depende da fatoração em primos.
Passo 2
Vamos começar calculando para valores de de 1 a 20. A fórmula que vamos usar é:
onde são os fatores primos distintos de .
Passo 3
Vamos calcular para cada de 1 a 20:
: Por definição, .
: 2 é primo, então .
: 3 é primo, então .
: 4 = , então .
: 5 é primo, então .
: 6 = , então .
: 7 é primo, então .
: 8 = , então .
: 9 = , então .
: 10 = , então .
: 11 é primo, então .
: 12 = , então .
: 13 é primo, então .
: 14 = , então .
: 15 = , então .
: 16 = , então .
: 17 é primo, então .
: 18 = , então .
: 19 é primo, então .
: 20 = , então .
Passo 4
Agora, vamos calcular e .
Para :
347 é um número primo (não tem divisores além de 1 e ele mesmo). Então:
Para :
Primeiro, vamos fatorar 312 em fatores primos: