Beleza! A questão pede pra gente provar que, se temos um número m = P1^alpha1 cdot P2^alpha2 cdot ldots cdot Pn^alphan, decomposto em fatores primos da forma
então a função de Euler pode ser calculada multiplicando termos como para cada primo que compõe . Vamos usar a propriedade de que quando e são primos entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Euler . Ela conta quantos números menores que são coprimos com (ou seja, que não têm nenhum divisor comum com além de 1). Uma propriedade importante dessa função é que ela é multiplicativa para números que são primos entre si. Isso significa que se dois números e não têm fatores primos em comum, então .
Passo 3
Como varphi(m) = varphi(P1^alpha1) cdot varphi(P2^alpha2) cdot ldots cdot varphi(Pn^alphan) está decomposto em fatores primos diferentes (cada é primo e distintos entre si), podemos aplicar a propriedade multiplicativa da função . Ou seja,
Passo 4
Agora, precisamos calcular varphi(p^alpha) = p^alpha - p^alpha - 1 = p^alpha - 1(p - 1) para cada . Sabemos que se é um número primo e é um expoente positivo, então
Isso ocorre porque de números, exatamente são múltiplos de e, portanto, não são coprimos com .
Passo 5
Substituindo essa expressão na fórmula multiplicativa que montamos no Passo 3, temos: