Mostre que varphi(2 n)=lvarphi(n), se n é ímpar 2 varphi(n), se n é par éíé.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função φ de Euler aplicado a 2n se comporta de duas formas diferentes: se n for ímpar, φ(2n) é igual a φ(n), e se n for par, φ(2n) é igual a 2 vezes φ(n). Vamos precisar entender um pouco sobre a função φ, números pares e ímpares, e como a função φ se comporta com múltiplos de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função φ de Euler. A função φ(n) conta quantos números entre 1 e n são coprimos com n, ou seja, que não têm nenhum divisor em comum com n além de 1. Por exemplo, φ(5) = 4 porque 1, 2, 3 e 4 são coprimos com 5.

Passo 3

Agora, vamos pensar em 2n. Se n é ímpar, significa que ele não tem 2 como fator. Já se n é par, ele tem 2 como fator. Vamos analisar os dois casos separadamente.

Passo 4

Caso 1: n é ímpar
Como n é ímpar, 2 e n são coprimos, ou seja, gcd(2, n) = 1. Quando dois números são coprimos, a função φ é multiplicativa. Então, temos:
varphi(2n) = varphi(2) cdot varphi(n)
Sabemos que φ(2) = 1 (porque apenas o número 1 é coprimo com 2). Então:
varphi(2n) = 1 cdot varphi(n) = varphi(n)
Isso mostra que, se n é ímpar, φ(2n) = φ(n).

Passo 5

Caso 2: n é par
Se n é par, então n pode ser escrito como n = 2k, onde k é um inteiro. Então, 2n = 2 * 2k = 4k. Agora, vamos calcular φ(4k).
Sabemos que:
varphi(4k) = varphi(4) cdot varphi(k)
Porque 4 e k são coprimos se k for ímpar. Sabemos que φ(4) = 2 (os números coprimos com 4 são 1 e 3). Portanto:
varphi(4k) = 2 cdot varphi(k)
Como n = 2k, então φ(n) = φ(2k). Mas como k é par (já que n é par), repetimos o processo até que k seja no geral. Isso nos leva a concluir que, de forma geral:
varphi(2n) = 2 cdot varphi(n)

Resposta

Portanto, mostramos que:
varphi(2n) = varphi(n), & se n é ímpar 2 varphi(n), & se n é par éíé

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m=underbraceP1^alpha1 cdot P2^alpha2 cdot ldots cdot Pn^alphanc decomposição em fatores primos Rightarrow varphi(m)=prodi=1^n Pi^alphai-1(Pi-1) çã