Construa a tabua de operações do grupo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para construir a tabuada de operações do grupo
. Aqui, estamos trabalhando com Teoria dos Grupos, especificamente com grupos simétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são os elementos do grupo
e como eles se combinam usando a operação
, que geralmente representa a composição de funções (ou permutações, nesse caso).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos do grupo
. O grupo simétrico
consiste em todas as permutações possíveis de
elementos. No caso de
, temos 2 elementos, então as permutações possíveis são:
-
Identidade (
): Essa permutação não muda nada. Se tivermos dois elementos, digamos e , a identidade transforma em e em . -
Transposição (
): Essa permutação troca os elementos. Então, vira e vira .
Então, os elementos de
são
e
.
Passo 3
Agora, vamos entender a operação
, que é a composição das permutações. Isso significa que para combinar duas permutaç��es, aplicamos uma após a outra. Vamos ver como isso funciona com os elementos de
:
-
: Aplicar a identidade seguida da identidade. O resultado é a identidade ( ). -
: Aplicar a identidade seguida da transposição. O resultado é a transposição ( ). -
: Aplicar a transposição seguida da identidade. O resultado é a transposição ( ). -
: Aplicar a transposição seguida da transposição. Como estamos trocando os elementos duas vezes, voltamos à identidade ( ).
Passo 4
Com essas combinações, podemos montar a tabuada de operações do grupo
. Vamos organizar os elementos nas linhas e colunas e preencher as células com os resultados que obtivemos:
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Resposta
A tabuada de operações do grupo
é:
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Exercícios relacionados
Prove que se p é primo então o grupo
tem
geradores.
Quantos e quais os geradores do grupo cíclico
?
Mostre que
.
Calcule
para
e
,
.