Construa a tabua de operações do grupo (S2, circ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para construir a tabuada de operações do grupo . Aqui, estamos trabalhando com Teoria dos Grupos, especificamente com grupos simétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são os elementos do grupo e como eles se combinam usando a operação , que geralmente representa a composição de funções (ou permutações, nesse caso).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos do grupo . O grupo simétrico consiste em todas as permutações possíveis de elementos. No caso de , temos 2 elementos, então as permutações possíveis são:
  1. Identidade ( ): Essa permutação não muda nada. Se tivermos dois elementos, digamos e , a identidade transforma em e em .
  2. Transposição ( ): Essa permutação troca os elementos. Então, vira e vira .
Então, os elementos de são e .

Passo 3

Agora, vamos entender a operação , que é a composição das permutações. Isso significa que para combinar duas permutaç��es, aplicamos uma após a outra. Vamos ver como isso funciona com os elementos de :
  1. : Aplicar a identidade seguida da identidade. O resultado é a identidade ( ).
  2. : Aplicar a identidade seguida da transposição. O resultado é a transposição ( ).
  3. : Aplicar a transposição seguida da identidade. O resultado é a transposição ( ).
  4. : Aplicar a transposição seguida da transposição. Como estamos trocando os elementos duas vezes, voltamos à identidade ( ).

Passo 4

Com essas combinações, podemos montar a tabuada de operações do grupo . Vamos organizar os elementos nas linhas e colunas e preencher as células com os resultados que obtivemos:

Resposta

A tabuada de operações do grupo é:

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