Encontre todos os geradores do grupo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todos os geradores do grupo
. Isso está dentro da matéria de Teoria dos Grupos, mais especificamente sobre grupos cíclicos e geradores. Para resolver, vamos precisar entender o que é um grupo gerador e como identificar esses elementos em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto dos números de 0 a 47 com a operação de adição módulo 48. Um gerador desse grupo é um elemento que, ao ser somado repetidamente, gera todos os elementos do grupo.
Passo 3
Para que um elemento
seja um gerador de
, é necessário que o maior divisor comum entre
e 48 seja 1. Isso significa que
e 48 devem ser coprimos.
Passo 4
Vamos identificar todos os números entre 1 e 47 que são coprimos com 48. Ou seja, vamos encontrar todos os
tais que
.
Passo 5
Vamos fatorar 48 para facilitar a busca dos coprimos:
Então, qualquer número que não seja divisível por 2 ou por 3 será coprimo com 48.
Passo 6
Listando os números de 1 a 47 que não são múltiplos de 2 nem de 3:
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47.
1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47.
Passo 7
Verificamos que cada um desses números não compartilha nenhum divisor comum com 48 além de 1, então todos são geradores de
.
Resposta
Os geradores do grupo
são: