Calcule a vazão que escoa no interior de um tubo de polietileno com 13 mm de diâmetro interno e 100 m de comprimento, com uma diferença geométrica entre o ponto de captação e o reservatório de 6,5 m. Desconsidere as perdas de carga localizada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a vazão (quantidade de água que passa por segundo) em um tubo de polietileno que tem 13 mm de diâmetro interno e 100 metros de comprimento. A diferença de altura entre o ponto de captação e o reservatório é de 6,5 metros. Vamos usar conceitos de hidráulica de tubulações, especificamente a equação de Darcy-Weisbach, que nos ajuda a relacionar a perda de carga com a vazão no tubo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O diâmetro interno do tubo está em milímetros, então vamos converter para metros:
D = 13 , mm = 0,013 , m

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal do tubo, que é importante para relacionar a vazão com a velocidade da água. A fórmula da área de um círculo é:
A = pi (D2)^2
Substituindo o valor de A = pi (0,0132)^2 approx 1,327 times 10^-4 , m^2 :

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de Darcy-Weisbach para relacionar a perda de carga ( hf = f cdot LD cdot v^22g ) com a vazão ( ):
Onde:
  • é a perda de carga (6,5 m)
  • é o fator de atrito
  • é o comprimento do tubo (100 m)
  • é o diâmetro interno (0,013 m)
  • é a velocidade da água
  • é a aceleração da gravidade ( )

Passo 5

Precisamos relacionar a vazão ( Q = A cdot v ) com a velocidade ( hf = f cdot LD cdot (QA)^22g ):
Então, podemos substituir na equação de Darcy-Weisbach:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver Q^2 = 2g hf D A^2f L :
Q = raiz2g hf D A^2f L

Passo 7

Precisamos estimar o fator de atrito ( Re = v Dnu ). Para tubos de polietileno, podemos assumir que o fluxo é laminar ou turbulento. Vamos calcular o número de Reynolds para verificar:
Onde é a viscosidade cinemática da água ( ).
Como não sabemos ainda, vamos assumir um valor inicial e ajustar conforme necessário. Para simplificar, vamos considerar , que é uma estimativa comum para fluxo turbulento em tubos comerciais.

Passo 8

Substituindo todos os valores na equação para Q = raiz2 times 9,81 times 6,5 times 0,013 times (1,327 times 10^-4)^20,02 times 100 :
Q = raiz2 times 9,81 times 6,5 times 0,013 times 1,761 times 10^-82
Calculando passo a passo:
Q = raiz2 times 9,81 times 6,5 times 0,013 times 1,761 times 10^-82 approx raiz1,663 times 10^-6 approx 0,00129 , m^3/s

Resposta

A vazão que escoa no interior do tubo é de aproximadamente 0,00129 metros cúbicos por segundo (m³/s).

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