Uma resistência elétrica é inserida em um bloco de concreto para derretimento de neve. A resistência provê um fluxo de calor uniforme de
. A condutividade térmica do concreto é
. Para minimizar o choque térmico no concreto, a diferença de temperatura entre a superfície da resistência
e a superfície do concreto
não deve exceder
. Formule a distribuição de temperatura no concreto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma resistência elétrica que está dentro de um bloco de concreto para derreter a neve. A resistência gera um fluxo de calor uniforme de
. Sabemos também que a condutividade térmica do concreto é
. Queremos descobrir como a temperatura varia dentro do concreto, garantindo que a diferença entre a temperatura na superfície da resistência (
) e a superfície do concreto (
) não passe de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier da Condução de Calor, que nos ajuda a entender como o calor se propaga através de materiais. A fórmula básica é:
Onde:
-
é o fluxo de calor ( ), -
é a condutividade térmica do material ( ), -
é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, sabemos que o fluxo de calor
e
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para encontrar o gradiente de temperatura:
Substituindo os valores que temos:
Isso significa que a temperatura diminui 857,14 K a cada metro que nos afastamos da superfície da resistência.
Passo 4
Agora, vamos relacionar isso com a diferença de temperatura limitada a
. A diferença de temperatura (
) entre as duas superfícies é:
Sabemos que a diferença de temperatura é também igual ao gradiente de temperatura multiplicado pela distância (
):
Substituindo os valores:
Passo 5
Resolvendo para
:
Isso significa que a temperatura no concreto varia linearmente de
para
ao longo de uma distância de aproximadamente 2,45 cm.
Resposta
A distribuição de temperatura no concreto é uma função linear que decresce de
para
ao longo de uma distância de aproximadamente
, garantindo que a diferença de temperatura não exceda
.