Uma resistência elétrica é inserida em um bloco de concreto para derretimento de neve. A resistência provê um fluxo de calor uniforme de 1200 W / m^2. A condutividade térmica do concreto é 1,4 W / mK. Para minimizar o choque térmico no concreto, a diferença de temperatura entre a superfície da resistência T1 e a superfície do concreto T2 não deve exceder 21^circ C. Formule a distribuição de temperatura no concreto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma resistência elétrica que está dentro de um bloco de concreto para derreter a neve. A resistência gera um fluxo de calor uniforme de . Sabemos também que a condutividade térmica do concreto é . Queremos descobrir como a temperatura varia dentro do concreto, garantindo que a diferença entre a temperatura na superfície da resistência ( ) e a superfície do concreto ( ) não passe de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier da Condução de Calor, que nos ajuda a entender como o calor se propaga através de materiais. A fórmula básica é:
q = -k dTdx
Onde:
  • é o fluxo de calor ( ),
  • é a condutividade térmica do material ( ),
  • é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, sabemos que o fluxo de calor e .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para encontrar o gradiente de temperatura:
dTdx = -qk
Substituindo os valores que temos:
dTdx = -12001,4 approx -857,14 , K/m
Isso significa que a temperatura diminui 857,14 K a cada metro que nos afastamos da superfície da resistência.

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com a diferença de temperatura limitada a De. A diferença de temperatura ( De) entre as duas superfícies é:
21 = 857,14 cdot L
Sabemos que a diferença de temperatura é também igual ao gradiente de temperatura multiplicado pela distância ( ):
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo para L = 21857,14 approx 0,0245 , m , (ou , 2,45 , cm) :
Isso significa que a temperatura no concreto varia linearmente de para ao longo de uma distância de aproximadamente 2,45 cm.

Resposta

A distribuição de temperatura no concreto é uma função linear que decresce de para ao longo de uma distância de aproximadamente , garantindo que a diferença de temperatura não exceda .

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