Uma resistência elétrica é inserida em um bloco de concreto para derretimento de neve. A resistência provê um fluxo de calor uniforme de . A condutividade térmica do concreto é . Para minimizar o choque térmico no concreto, a diferença de temperatura entre a superfície da resistência e a superfície do concreto não deve exceder . Formule a distribuição de temperatura no concreto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma resistência elétrica que está dentro de um bloco de concreto para derreter a neve. A resistência gera um fluxo de calor uniforme de . Sabemos também que a condutividade térmica do concreto é . Queremos descobrir como a temperatura varia dentro do concreto, garantindo que a diferença entre a temperatura na superfície da resistência ( ) e a superfície do concreto ( ) não passe de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier da Condução de Calor, que nos ajuda a entender como o calor se propaga através de materiais. A fórmula básica é:
Onde:
  • é o fluxo de calor ( ),
  • é a condutividade térmica do material ( ),
  • é o gradiente de temperatura.
No nosso caso, sabemos que o fluxo de calor e .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para encontrar o gradiente de temperatura:
Substituindo os valores que temos:
Isso significa que a temperatura diminui 857,14 K a cada metro que nos afastamos da superfície da resistência.

Passo 4

Agora, vamos relacionar isso com a diferença de temperatura limitada a . A diferença de temperatura ( ) entre as duas superfícies é:
Sabemos que a diferença de temperatura é também igual ao gradiente de temperatura multiplicado pela distância ( ):
Substituindo os valores:

Passo 5

Resolvendo para :
Isso significa que a temperatura no concreto varia linearmente de para ao longo de uma distância de aproximadamente 2,45 cm.

Resposta

A distribuição de temperatura no concreto é uma função linear que decresce de para ao longo de uma distância de aproximadamente , garantindo que a diferença de temperatura não exceda .

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(4)
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