Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo: sigma(t) = (e^t cos(t), e^t sen(t))

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma curva parametrizada por e precisa calcular a velocidade dessa curva. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, onde trabalhamos com derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar derivar cada componente da função em relação a t.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que a velocidade de uma curva parametrizada é simplesmente a derivada da função vetor sigma(t) em relação a t. Ou seja, vai nos dar a velocidade. Como nossa função tem duas componentes, vamos derivar cada uma separadamente usando a regra do produto, já que temos produtos de funções como .

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira componente: . Aplicando a regra do produto, temos:
Agora, a segunda componente: . Novamente, aplicando a regra do produto:

Resposta

Assim, a velocidade da curva é dada por:

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