Calcule a velocidade horizontal que deve ser comunicada a um satélite artificial em uma órbita circular a 160 km acima da superfície terrestre. Qual seria seu período nesta órbita?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas coisas sobre um satélite que está orbitando a Terra: a velocidade horizontal que ele precisa ter para manter uma órbita circular a 160 km acima da superfície terrestre, e o período dessa órbita, que é o tempo que o satélite leva para dar uma volta completa.
Para isso, vamos usar conceitos de gravitação universal e movimento circular. Vamos precisar conhecer algumas fórmulas básicas da física que relacionam a força gravitacional com a velocidade orbital e o período de uma órbita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade orbital necessária. A velocidade orbital ( v = raizG cdot MR ) pode ser encontrada usando a fórmula:
R = RTerra + a
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ²²),
  • é a massa da Terra ( ),
  • é a distância do centro da Terra ao satélite.
Mas atenção! O enunciado nos dá a altura do satélite acima da superfície da Terra, não a distância do centro. Então, precisamos somar o raio da Terra à altura do satélite.
Sabemos que o raio médio da Terra ( ) é aproximadamente 6.371 km. Como o satélite está a 160 km acima da superfície:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores na fórmula da velocidade:
v = raiz6,674 times 10^-11 , N·m²/kg² times 5,972 times 10^24 , kg6,531 times 10^6 , m ²²
Primeiro, fazemos a multiplicação no numerador:
G cdot M = 6,674 times 10^-11 times 5,972 times 10^24 = 3,986 times 10^14 , m^3/s² ²
Então, dividimos pelo valor de G cdot MR = 3,986 times 10^146,531 times 10^6 approx 6,11 times 10^7 , m²/s² :
v = raiz6,11 times 10^7 approx 7.81 times 10^3 , m/s = 7.81 , km/s ²²
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos calcular o período orbital ( T = 2pi Rv ), que é o tempo que o satélite leva para completar uma volta. A fórmula para o período em uma órbita circular é:
T = 2 pi times 6,531 times 10^67,81 times 10^3 approx 4,103 times 10^77,81 times 10^3 approx 5250 , s
Já temos 5250 , s div 60 approx 87,5 , minutos e . Substituindo esses valores:
Convertendo para minutos:

Resposta

A velocidade horizontal necessária para o satélite é de aproximadamente 7,81 km/s, e o período de sua órbita é de cerca de 87,5 minutos.

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