A posição de uma partícula ao longo do cixo x depende do tempo de acordo com a equação x=A t^2-B t^3, onde x está em metros e t em segundos. (f) Qual é a velocidade da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre a posição de uma partícula ao longo do eixo em função do tempo , usando a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade da partícula no final de cada um dos 4 primeiros segundos. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a velocidade a partir da função de posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Isso significa que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada:
v(t) = dxdt = ddt(A t^2) - ddt(B t^3) = 2A t - 3B t^2
Então, a expressão para a velocidade é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade ao final de cada um dos 4 primeiros segundos substituindo por 1, 2, 3 e 4 na equação da velocidade.

Passo 5

Para v(1) = 2A(1) - 3B(1)^2 = 2A - 3B segundo:

Passo 6

Para v(2) = 2A(2) - 3B(2)^2 = 4A - 12B segundos:

Passo 7

Para v(3) = 2A(3) - 3B(3)^2 = 6A - 27B segundos:

Passo 8

Para v(4) = 2A(4) - 3B(4)^2 = 8A - 48B segundos:

Resposta

A velocidade da partícula ao final dos 4 primeiros segundos é:
v(1) = 2A - 3B v(2) = 4A - 12B v(3) = 6A - 27B v(4) = 8A - 48B

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