Deduza a expressão parao momento de inércia de un aro de massa M e raio R em relaçăo a seu eixo central:

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o momento de inércia de um aro que tem massa e raio em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente o que fala sobre momento de inércia. O que a gente vai precisar é a fórmula básica do momento de inércia e entender como a massa está distribuída no aro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida que diz o quanto um objeto resiste a mudanças na sua rotação em torno de um eixo. Matematicamente, o momento de inércia ( I = integral r^2 , dm ) é calculado pela soma (ou integral) de todos os pequenos pedaços de massa ( ) multiplicados pelo quadrado da distância ( ) desses pedaços até o eixo de rotação. A fórmula geral é:

Passo 3

No caso do aro, tudo fica mais fácil porque toda a massa está a uma mesma distância do eixo central, que é o raio I = R^2 integral dm . Isso significa que cada pedacinho de massa do aro está a exatamente distância do eixo. Então, a gente pode simplificar a integral. Como é constante para todo o aro, a fórmula fica:

Passo 4

Agora, a integral de I = R^2 times M é simplesmente a massa total do aro, que é . Substituindo na fórmula, temos:

Resposta

O momento de inércia do aro em relação ao seu eixo central é:
I = M R^2

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