Deduza a expressão parao momento de inércia de un aro de massa e raio em relaçăo a seu eixo central:

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o momento de inércia de um aro que tem massa e raio em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos usar conceitos de física, especificamente o que fala sobre momento de inércia. O que a gente vai precisar é a fórmula básica do momento de inércia e entender como a massa está distribuída no aro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida que diz o quanto um objeto resiste a mudanças na sua rotação em torno de um eixo. Matematicamente, o momento de inércia ( ) é calculado pela soma (ou integral) de todos os pequenos pedaços de massa ( ) multiplicados pelo quadrado da distância ( ) desses pedaços até o eixo de rotação. A fórmula geral é:

Passo 3

No caso do aro, tudo fica mais fácil porque toda a massa está a uma mesma distância do eixo central, que é o raio . Isso significa que cada pedacinho de massa do aro está a exatamente distância do eixo. Então, a gente pode simplificar a integral. Como é constante para todo o aro, a fórmula fica:

Passo 4

Agora, a integral de é simplesmente a massa total do aro, que é . Substituindo na fórmula, temos:

Resposta

O momento de inércia do aro em relação ao seu eixo central é:

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula ao longo do cixo depende do tempo de acordo com a equação , onde está em metros segundos. (f) Qual é a velocidade da partícula ao final de cada um dos 4 primeiros segundos?
Uma esfera é arremessada do solo para o ar. A uma altura de , observa-se uma velocidade ( é o eixo horizontal e y é o eixo vertical, para cima). © Qual é a velocidade da esfera (intensidade e direção) um instante antes de ela atingir o solo?
Calcule a velocidade horizontal que deve ser comunicada a um satélite artificial em uma órbita circular a 160 km acima da superfície terrestre. Qual seria seu período nesta órbita?
Um fio condutor elétrico tem comprimento , diâmetro D e resistência elétrica R . Se duplicarmos seu comprimento e diâmetro, sua nova resistência elétrica passará a ser
a)
b)
c)
c)
e)