Calcule e verifique sua resposta por derivação.
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo juntos. A questão pede para calcular a integral de
em relação a
e depois verificar a resposta fazendo a derivada. Vamos precisar usar as regras de integração básicas e, depois, a regra da derivada para confirmar se está tudo certo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 3
Vamos resolver a primeira integral:
. Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante.
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda integral:
. Podemos reescrever
como
para facilitar a integração. A integral de
em relação a
é
, desde que
.
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Onde
é a constante de integração que combina
e
.
Passo 6
Para verificar nossa resposta, vamos derivar a expressão que encontramos e ver se voltamos à função original
.
A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é:
Então, ao derivar a nossa resposta, temos:
Que é exatamente a função que queríamos integrar. Assim, a verificação confirma que nossa solução está correta.
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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, no ponto
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