Calcule e verifique sua resposta por derivação.
integral(e^4 x+1x^2) d x

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício de cálculo juntos. A questão pede para calcular a integral de e^4x + 1x^2 em relação a x e depois verificar a resposta fazendo a derivada. Vamos precisar usar as regras de integração básicas e, depois, a regra da derivada para confirmar se está tudo certo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral ( e^4x + 1x^2 ) dx = integral e^4x , dx + integral 1x^2 , dx

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral e^4x , dx. Aqui, usamos a regra de integração para funções exponenciais. A integral de e^ax em relação a x é 1a e^ax + C, onde a é uma constante.
No nosso caso, a = 4, então:
integral e^4x , dx = 14 e^4x + C1

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral 1x^2 , dx. Podemos reescrever 1x^2 como x^-2 para facilitar a integração. A integral de x^n em relação a x é x^n+1n+1 + C, desde que n neq -1.
Aqui, n = -2, então:
integral x^-2 , dx = x^-2+1-2+1 + C = x^-1-1 + C = -x^-1 + C = -1x + C2

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
integral ( e^4x + 1x^2 ) dx = 14 e^4x - 1x + C
Onde C é a constante de integração que combina C1 e C2.

Passo 6

Para verificar nossa resposta, vamos derivar a expressão que encontramos e ver se voltamos à função original e^4x + 1x^2.
A derivada de 14 e^4x em relação a x é:
14 cdot 4 e^4x = e^4x
A derivada de -1x em relação a x é:
ddx ( -1x ) = 1x^2
Então, ao derivar a nossa resposta, temos:
e^4x + 1x^2
Que é exatamente a função que queríamos integrar. Assim, a verificação confirma que nossa solução está correta.

Resposta

A integral de e^4x + 1x^2 em relação a x é:
14 e^4x - 1x + C

Exercícios relacionados

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado, y = -3 x + 4 x^2, no ponto 1,1
Seja f(x)=llbracket cos x rrbracket,-pi <= x <= pi.
Calcule cada limite, se existir
lim x 0 f(x)
Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
f(x) = e^(-x^2/2)
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
f(x) = x * e^(-x)