Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, mais especificamente, derivadas. Vamos precisar saber como calcular derivadas de funções que são produtos de outras funções e entender como elas nos ajudam a encontrar os pontos de máximo e mínimo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
e nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou diminuindo.
Passo 3
Como
é o produto de duas funções,
e
, vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que se temos
e
, então:
Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
:
Agora, aplicamos a regra do produto:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, onde podem ocorrer máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que
nunca é zero para nenhum valor real de
, então a única solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois. Podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada
. Vamos derivar
:
Passo 7
Avalie a segunda derivada em
:
Como
é negativo, isso indica que a função tem um ponto de máximo em
.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo local em
. Não há pontos de mínimo.
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