Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
f(x) = x * e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, mais especificamente, derivadas. Vamos precisar saber como calcular derivadas de funções que são produtos de outras funções e entender como elas nos ajudam a encontrar os pontos de máximo e mínimo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a e nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou diminuindo.

Passo 3

Como é o produto de duas funções, e , vamos usar a regra do produto para derivar. A regra do produto diz que se temos e , então:
Aqui, e .

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas de e :
Agora, aplicamos a regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, onde podem ocorrer máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero para nenhum valor real de , então a única solução vem de:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico é um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois. Podemos usar o teste da segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada . Vamos derivar :

Passo 7

Avalie a segunda derivada em :
Como é negativo, isso indica que a função tem um ponto de máximo em .

Resposta

A função possui um ponto de máximo local em . Não há pontos de mínimo.

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