Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, a gente vai estudar a concavidade da função
e descobrir onde ela tem pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função está se comportando em termos de crescimento e curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Aplicando a derivada novamente:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, vamos igualar a segunda derivada a zero e resolver para
:
Sabemos que
nunca é zero, então basta resolver
:
Passo 5
Vamos verificar se nesses pontos a concavidade realmente muda. Analisando a segunda derivada:
- Para
: e ⇒ (Concava para cima) - Para
: e ⇒ (Concava para baixo) - Para
: e ⇒ (Concava para cima)
Como a concavidade muda em
e
, esses são pontos de inflexão.
Resposta
A função
possui pontos de inflexão nos valores
e
.
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Calcule e verifique sua resposta por derivação.
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, no ponto
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
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