Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
f(x) = e^(-x^2/2)

Passo 1

Beleza, a gente vai estudar a concavidade da função e descobrir onde ela tem pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função está se comportando em termos de crescimento e curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de . A derivada nos mostra a taxa de variação da função. Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da função. Aplicando a derivada novamente:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, vamos igualar a segunda derivada a zero e resolver para :
Sabemos que nunca é zero, então basta resolver :

Passo 5

Vamos verificar se nesses pontos a concavidade realmente muda. Analisando a segunda derivada:
  • Para : e (Concava para cima)
  • Para : e (Concava para baixo)
  • Para : e (Concava para cima)
Como a concavidade muda em e , esses são pontos de inflexão.

Resposta

A função possui pontos de inflexão nos valores e .

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