Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de em e a equação da reta tangente em . Faça um esboço da gráfico de cada função.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto geral e, especificamente, a equação dessa reta tangente no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a ideia de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a , ou seja, o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto.
A derivada de é:
Então, .

Passo 3

Agora que temos a derivada, podemos ver que o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto é 3, já que e isso não depende de . Isso significa que, independentemente do ponto que escolhemos na função, a inclinação da reta tangente será sempre 3.

Passo 4

Vamos focar no ponto específico . Primeiro, precisamos calcular :
Então, o ponto é . Sabendo que o coeficiente angular , podemos usar a equação da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:
Simplificando, temos:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é 3, e a equação da reta tangente no ponto é . Além disso, como a função é uma reta, a reta tangente em qualquer ponto dela coincide com o próprio gráfico da função. Portanto, o esboço do gráfico de e da reta tangente em será basicamente a mesma reta.

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Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções:
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Determine reta(s) tangente(s) ao gráfico da função paralela(s) à reta dada: .
Calcule e verifique sua resposta por derivação.