Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
e a equação da reta tangente em
. Faça um esboço da gráfico de cada função.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função
no ponto geral
e, especificamente, a equação dessa reta tangente no ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a ideia de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela em relação a
, ou seja, o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto.
A derivada de
é:
Então,
.
Passo 3
Agora que temos a derivada, podemos ver que o coeficiente angular da reta tangente em qualquer ponto
é 3, já que
e isso não depende de
. Isso significa que, independentemente do ponto que escolhemos na função, a inclinação da reta tangente será sempre 3.
Passo 4
Vamos focar no ponto específico
. Primeiro, precisamos calcular
:
Então, o ponto é
. Sabendo que o coeficiente angular
, podemos usar a equação da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:
Simplificando, temos:
Resposta
O coeficiente angular da reta tangente é 3, e a equação da reta tangente no ponto
é
. Além disso, como a função
é uma reta, a reta tangente em qualquer ponto dela coincide com o próprio gráfico da função. Portanto, o esboço do gráfico de
e da reta tangente em
será basicamente a mesma reta.
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Calcule, usando a definição, a derivada das seguintes funções:
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Determine
reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
paralela(s) à reta
dada:
.
Calcule e verifique sua resposta por derivação.