Mostre que
(k)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que:
Isso é uma identidade trigonométrica, que basicamente é uma equação que é verdadeira para todos os valores de onde as funções estão definidas. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas e fazer umas manipulações algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no lado esquerdo da equação:
Nossa meta é transformar essa expressão para chegar no lado direito, que envolve e . Para facilitar, vamos tentar simplificar o denominador .

Passo 3

Uma técnica útil é multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Nesse caso, a conjugada de é . Então, multiplicamos assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Usando a identidade da diferença de quadrados:
E sabemos que . Então, a expressão fica:

Passo 5

Simplificando a fração, podemos cancelar uma no numerador e no denominador:
Reconhecendo as funções trigonométricas, isso se torna:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Resolva cada inequação em .
(b)
Se e , encontre cada uma das funções e seus domínios.
(b)
Calcule.
Calcule e verifique sua resposta por derivação.