Mostre que
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que:
Isso é uma identidade trigonométrica, que basicamente é uma equação que é verdadeira para todos os valores de
onde as funções estão definidas. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas e fazer umas manipulações algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no lado esquerdo da equação:
Nossa meta é transformar essa expressão para chegar no lado direito, que envolve
e
. Para facilitar, vamos tentar simplificar o denominador
.
Passo 3
Uma técnica útil é multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. Nesse caso, a conjugada de
é
. Então, multiplicamos assim:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador. Usando a identidade da diferença de quadrados:
E sabemos que . Então, a expressão fica:
Passo 5
Simplificando a fração, podemos cancelar uma no numerador e no denominador:
Reconhecendo as funções trigonométricas, isso se torna:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Resolva cada inequação em
.
(b)
(b)
Se
e
, encontre cada uma das funções e seus domínios.
(b)
(b)
Calcule.
Calcule e verifique sua resposta por derivação.