Calcule o vetor de coordenadas de em relação à base dada para .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial , que é o plano cartesiano que a gente conhece. A base que é dada é composta pelos vetores e , que na verdade são a base padrão do . O objetivo é encontrar as coordenadas do vetor nessa base . Pra isso, vamos precisar entender como representar um vetor em termos de uma base escolhida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No , a base padrão é tão comum porque qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.

Passo 3

Agora, para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base , queremos achar escalares e tais que:
Isso significa que:

Passo 4

Vamos igualar as componentes correspondentes:
Portanto, os escalares e que compõem o vetor na base são 3 e 2, respectivamente.

Resposta

O vetor de coordenadas de em relação à base é .

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