Diga se o conjunto S é uma base para E=P2. Justifique.
S=-t^2+t+2,2 t^2+2 t+3,4 t^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre base, espaço vetorial e independência linear.

Passo 2

Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço de dimensão 3 (porque podemos ter os coeficientes de , e a constante), uma base precisa ter exatamente 3 polinômios que não possam ser escritos como combinação linear uns dos outros.

Passo 3

Para verificar se a(-t^2+t+2) + b(2t^2+2t+3) + c(4t^2-1) = 0 é uma base, vamos verificar se os polinômios em são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação
é .

Passo 4

Vamos expandir a equação:
(-a + 2b + 4c)t^2 + (a + 2b)t + (2a + 3b - c) = 0
Para que isso seja igual a zero para todo - a + 2b + 4c = 0 a + 2b = 0 2a + 3b - c = 0 , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
a = -2b
Substituindo -(-2b) + 2b + 4c = 0 Rightarrow 2b + 2b + 4c = 0 Rightarrow 4b + 4c = 0 Rightarrow b + c = 0 Rightarrow c = -b na primeira equação:
2(-2b) + 3b - (-b) = -4b + 3b + b = 0 Rightarrow 0 = 0
Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 6

A última equação não nos dá mais informações, então temos:
a = -2b c = -b
Isso significa que existem infinitas soluções além de . Por exemplo, se , então e . Isso mostra que os polinômios em são linearmente dependentes.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base para , pois os polinômios em são linearmente dependentes.

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