Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre base, espaço vetorial e independência linear.
Passo 2
Primeiro, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço de dimensão 3 (porque podemos ter os coeficientes de , e a constante), uma base precisa ter exatamente 3 polinômios que não possam ser escritos como combinação linear uns dos outros.
Passo 3
Para verificar se é uma base, vamos verificar se os polinômios em são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação
é .
Passo 4
Vamos expandir a equação:
Para que isso seja igual a zero para todo , os coeficientes de , e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
a = -2b
Substituindo -(-2b) + 2b + 4c = 0 Rightarrow 2b + 2b + 4c = 0 Rightarrow 4b + 4c = 0 Rightarrow b + c = 0 Rightarrow c = -b na primeira equação: