Para que valores de b os vetores <-6, b,
e <b,
, b> são ortogonais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de
os vetores
e
são ortogonais. Isso envolve o conceito de ortogonalidade entre vetores, que basicamente significa que eles são “perpendiculares” um ao outro. Para verificar isso, usamos o produto escalar dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Se o produto escalar for igual a zero, ou seja,
, então os vetores são ortogonais.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar dos vetores
e
:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Então, o produto escalar fica:
Passo 5
Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 6
Primeiro, fatoramos a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 7
Resolvendo a segunda equação:
Passo 8
Assim, os valores de
que satisfazem a condição são:
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores ortogonais são
,
e
.
Exercícios relacionados
Diga se o conjunto
é uma base para
. Justifique.
Calcule o vetor de coordenadas de
em relação à base
dada para
.
Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o grau mais próximo):
Determine os cossenos diretores e os ângulos diretores do vetor dado (aproxime o ângulo diretor até o grau mais próximo):