Para que valores de b os vetores <-6, b, e <b, , b> são ortogonais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de os vetores e são ortogonais. Isso envolve o conceito de ortogonalidade entre vetores, que basicamente significa que eles são “perpendiculares” um ao outro. Para verificar isso, usamos o produto escalar dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores e é dado por:
Se o produto escalar for igual a zero, ou seja, , então os vetores são ortogonais.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores e :
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Então, o produto escalar fica:

Passo 5

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 6

Primeiro, fatoramos a equação:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:

Passo 8

Assim, os valores de que satisfazem a condição são:

Resposta

Os valores de que tornam os vetores ortogonais são , e .

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