Para que valores de b os vetores <-6, b, 2> e <b, b^2, b> são ortogonais?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de os vetores e são ortogonais. Isso envolve o conceito de ortogonalidade entre vetores, que basicamente significa que eles são “perpendiculares” um ao outro. Para verificar isso, usamos o produto escalar dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar de dois vetores A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 e é dado por:
Se o produto escalar for igual a zero, ou seja, , então os vetores são ortogonais.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar dos vetores A cdot B = (-6)(b) + (b)(b^2) + (2)(b) e A cdot B = -6b + b^3 + 2b :
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos somar os termos semelhantes:
-6b + 2b = -4b
Então, o produto escalar fica:
A cdot B = b^3 - 4b

Passo 5

Para que os vetores sejam ortogonais, o produto escalar deve ser zero:
b^3 - 4b = 0
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 6

Primeiro, fatoramos a equação:
b(b^2 - 4) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Resolvendo a segunda equação:
b^2 - 4 = 0 implies b^2 = 4 implies b = raiz4 implies b = 2 ou b = -2

Passo 8

Assim, os valores de b = 0, 2, -2 que satisfazem a condição são:

Resposta

Os valores de que tornam os vetores ortogonais são , e .

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