Mostre que as matrizes
Formam uma base para o Espaço Vetorial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que quatro matrizes específicas formam uma base para o Espaço Vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, espaços vetoriais e bases, além de trabalhar com combinações lineares e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. No caso de , queremos encontrar 4 matrizes que satisfazem essas condições, já que a dimensão desse espaço é 4.

Passo 3

As matrizes que temos são:
Precisamos mostrar que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes e que elas são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos começar verificando se essas matrizes geram . Ou seja, queremos ver se qualquer matriz pode ser escrita como:
Onde são escalares (números reais, por exemplo). Vamos montar essa equação.

Passo 5

Substituindo as matrizes, temos:

Passo 6

Vamos somar as matrizes no lado direito:
Agora, igualamos aos elementos de :

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar em termos de .
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Agora, substituímos e na quarta equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar :

Passo 9

Portanto, encontramos valores para que permitem expressar qualquer matriz como uma combinação linear das matrizes . Isso mostra que essas matrizes geram .

Passo 10

Agora, precisamos verificar se as matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é .
Vamos montar essa equação:

Passo 11

Somando as matrizes:
Isso nos dá o sistema:

Passo 12

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na quarta equação:
Então, . Isso mostra que as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, as quatro matrizes fornecidas são linearmente independentes e geram o espaço , ou seja, formam uma base para .

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