Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que quatro matrizes específicas formam uma base para o Espaço Vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, espaços vetoriais e bases, além de trabalhar com combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. No caso de , queremos encontrar 4 matrizes que satisfazem essas condições, já que a dimensão desse espaço é 4.
Passo 3
As matrizes que temos são:
Precisamos mostrar que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes e que elas são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos começar verificando se essas matrizes geram. Ou seja, queremos ver se qualquer matriz pode ser escrita como:
Onde são escalares (números reais, por exemplo). Vamos montar essa equação.
Passo 5
Substituindo as matrizes, temos:
Passo 6
Vamos somar as matrizes no lado direito:
Agora, igualamos aos elementos de :
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar (b - w) + z = a Rightarrow z = a - b + w em termos de (c - w) + (a - b + w) + w = d Rightarrow c - w + a - b + w + w = d .
Da segunda equação: a + c - b + w = d Rightarrow w = d - a - c + b
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Agora, substituímos e na quarta equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos x = b - w = b - (d - a - c + b) = a + c - d , podemos encontrar y = c - w = c - (d - a - c + b) = a + 2c - d - b :
z = a - b + w = a - b + (d - a - c + b) = d - c
Passo 9
Portanto, encontramos valores para que permitem expressar qualquer matriz como uma combinação linear das matrizes . Isso mostra que essas matrizes geram.
Passo 10
Agora, precisamos verificar se as matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação x 1 & 1 0 & 0 + y 0 & 0 1 & 1 + z 1 & 0 0 & 1 + w 0 & 1 1 & 1 = 0 & 0 0 & 0 é .
Vamos montar essa equação:
Passo 11
Somando as matrizes:
x + z & x + w y + w & y + z + w = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema:
x + z = 0 x + w = 0 y + w = 0 y + z + w = 0
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: -y + z + w = -w + w + w = w = 0 Rightarrow w = 0
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na quarta equação:
Então, . Isso mostra que as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, as quatro matrizes fornecidas são linearmente independentes e geram o espaço , ou seja, formam uma base para .