Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que quatro matrizes específicas formam uma base para o Espaço Vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes . Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, espaços vetoriais e bases, além de trabalhar com combinações lineares e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. No caso de , queremos encontrar 4 matrizes que satisfazem essas condições, já que a dimensão desse espaço é 4.
Passo 3
As matrizes que temos são:
Precisamos mostrar que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes e que elas são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos começar verificando se essas matrizes geram. Ou seja, queremos ver se qualquer matriz pode ser escrita como:
Onde são escalares (números reais, por exemplo). Vamos montar essa equação.
Passo 5
Substituindo as matrizes, temos:
Passo 6
Vamos somar as matrizes no lado direito:
Agora, igualamos aos elementos de :
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar em termos de .
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Substituindo e na primeira equação:
Agora, substituímos e na quarta equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos , podemos encontrar :
Passo 9
Portanto, encontramos valores para que permitem expressar qualquer matriz como uma combinação linear das matrizes . Isso mostra que essas matrizes geram.
Passo 10
Agora, precisamos verificar se as matrizes são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a equação é .
Vamos montar essa equação:
Passo 11
Somando as matrizes:
Isso nos dá o sistema:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na quarta equação:
Então, . Isso mostra que as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, as quatro matrizes fornecidas são linearmente independentes e geram o espaço , ou seja, formam uma base para .