Diga se o conjunto é uma base para . Justifique

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para dizer se o conjunto é uma base para o espaço . Isso envolve o estudo de bases e combinações lineares. Para resolver, precisamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em geral, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , precisamos de 3 vetores que não estejam na mesma linha ou plano, ou seja, que não possam ser escritos como combinações lineares uns dos outros.

Passo 3

Agora, vamos verificar a linearidade dos vetores em . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:

Passo 4

Vamos calcular o determinante de :

Passo 5

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso nos diz que os vetores em são linearmente independentes.

Passo 6

Além disso, como temos 3 vetores em que são linearmente independentes, eles geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .

Resposta

O conjunto é uma base para porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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