Diga se o conjunto S é uma base para E=R^3. Justifique
S=(1,1,1),(-1,0,2),(2,2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para dizer se o conjunto é uma base para o espaço . Isso envolve o estudo de bases e combinações lineares. Para resolver, precisamos verificar se os vetores de são linearmente independentes e geram todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em geral, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. No caso de , precisamos de 3 vetores que não estejam na mesma linha ou plano, ou seja, que não possam ser escritos como combinações lineares uns dos outros.

Passo 3

Agora, vamos verificar a linearidade dos vetores em A = 1 & -1 & 2 1 & 0 & 2 1 & 2 & 1 . Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A matriz fica assim:

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 2) - (-1) cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) + 2 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 1) :
det(A) = 1 cdot (0 - 4) - (-1) cdot (1 - 2) + 2 cdot (2 - 0)
det(A) = 1 cdot (-4) + 1 cdot ( -1 ) + 2 cdot 2
det(A) = -4 -1 +4 = -1

Passo 5

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso nos diz que os vetores em são linearmente independentes.

Passo 6

Além disso, como temos 3 vetores em que são linearmente independentes, eles geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .

Resposta

O conjunto é uma base para porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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