Calcule o vetor da força gravitacional devido a um cilindro homogêneo em pontos exteriores ao eixo do cilindro. Faça o cálculo: (a) calculando a força diretamente e (b) calculando o potencial primeiro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você precisa fazer é calcular o vetor da força gravitacional que um cilindro homogêneo exerce em pontos que estão fora do eixo do cilindro. Isso faz parte da física, mais especificamente da área de gravitação. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial e teoria da gravitação. Além disso, vamos trabalhar com integrais para somar as contribuições de todas as partes do cilindro na força total.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): calcular a força gravitacional diretamente.
Imagine que temos um cilindro longo e homogêneo, ou seja, com densidade constante. Queremos encontrar a força gravitacional em um ponto que está a uma distância dF = -G dm , ms^2 s do eixo do cilindro, onde F = -2G M mr r é maior que o raio do cilindro .
A força gravitacional devido a um elemento de massa no cilindro sobre uma massa de teste no ponto externo pode ser calculada usando a Lei da Gravitação de Newton:
Aqui, é a constante gravitacional, é a distância entre o elemento de massa e o ponto onde estamos calculando a força, e é o vetor unitário na direção da força.
Devido à simetria do cilindro, as componentes horizontais das forças se cancelam, e apenas a componente radial contribui para a força total. Integrando ao longo do comprimento do cilindro, podemos simplificar a expressão para obter:
Onde é a massa total do cilindro e é o vetor unitário radial.

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte (b): calcular o potencial gravitacional primeiro e depois a força.
O potencial gravitacional Phi = -G integral dms devido a um cilindro homogêneo em um ponto externo pode ser encontrado integrando a contribuição de cada elemento de massa do cilindro:
Phi = -2G Mr
Assim como antes, devido à simetria, a integração simplifica para:
F = -m nabla Phi
Agora, para encontrar a força gravitacional a partir do potencial, usamos a relação que a força é o negativo do gradiente do potencial:
F = -m ( dPhidr ) r = -m ( 2G Mr^2 ) r
Calculando o gradiente em coordenadas radiais:
F = -2G M mr^2 r
Então, a força gravitacional é:

Resposta

A força gravitacional devido a um cilindro homogêneo em um ponto externo ao eixo é dado por:
F = -2G M mr r
ou, utilizando o potencial gravitacional,
F = -2G M mr^2 r
Dependendo do método de cálculo utilizado.

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