Um planeta de densidade
(núcleo esférico, raio
) com uma nuvem de poeira esférica espessa (densidade
, raio
) é descrito. Qual é a força sobre uma partícula de massa
posicionada na nuvem de poeira?
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema que estamos resolvendo. Temos um planeta com um núcleo esférico de densidade
e raio
. Ao redor desse núcleo, há uma nuvem de poeira que também é esférica, mas mais espessa, com densidade
e raio
. A questão pergunta qual é a força gravitacional exercida sobre uma partícula de massa
que está posicionada nessa nuvem de poeira.
Aqui, vamos utilizar conceitos de Gravitação, especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton. Precisamos calcular a força gravitacional resultante da combinação do núcleo do planeta e da nuvem de poeira sobre a partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos dá a força gravitacional entre duas massas:
Onde:
-
é a força gravitacional, -
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa que está exercendo a força, -
é a massa da partícula, -
é a distância entre os centros das duas massas.
Passo 3
No nosso caso, a massa que está exercendo a for��a sobre a partícula de massa
é a massa dentro de uma esfera de raio igual à posição da partícula na nuvem de poeira. Vamos chamar essa distância de
, onde
.
A massa total
dentro desse raio
é composta pela massa do núcleo do planeta mais a massa da parte da nuvem de poeira até esse raio
.
Passo 4
Vamos calcular a massa do núcleo do planeta (
):
Agora, a massa da nuvem de poeira até o raio
(
):
Então, a massa total dentro do raio
é:
Passo 5
Substituindo
na fórmula da força gravitacional, temos:
Substituindo a expressão de
:
Podemos fatorar
:
Resposta
A força sobre a partícula de massa
posicionada na nuvem de poeira é:
Exercícios relacionados
Calcule o vetor da força gravitacional devido a um cilindro homogêneo em pontos exteriores ao eixo do cilindro. Faça o cálculo: (a) calculando a força diretamente e (b) calculando o potencial primeiro.
Um disco fino de massa
e raio
fica no plano
com o eixo
passando por seu centro. Calcule o potencial gravitacional
e o campo gravitacional
no eixo z.
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(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo .
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo anel no eixo