Um planeta de densidade (núcleo esférico, raio ) com uma nuvem de poeira esférica espessa (densidade , raio ) é descrito. Qual é a força sobre uma partícula de massa posicionada na nuvem de poeira?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema que estamos resolvendo. Temos um planeta com um núcleo esférico de densidade e raio . Ao redor desse núcleo, há uma nuvem de poeira que também é esférica, mas mais espessa, com densidade e raio . A questão pergunta qual é a força gravitacional exercida sobre uma partícula de massa que está posicionada nessa nuvem de poeira.
Aqui, vamos utilizar conceitos de Gravitação, especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton. Precisamos calcular a força gravitacional resultante da combinação do núcleo do planeta e da nuvem de poeira sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos dá a força gravitacional entre duas massas:
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa que está exercendo a força,
  • é a massa da partícula,
  • é a distância entre os centros das duas massas.

Passo 3

No nosso caso, a massa que está exercendo a for��a sobre a partícula de massa é a massa dentro de uma esfera de raio igual à posição da partícula na nuvem de poeira. Vamos chamar essa distância de , onde .
A massa total dentro desse raio é composta pela massa do núcleo do planeta mais a massa da parte da nuvem de poeira até esse raio .

Passo 4

Vamos calcular a massa do núcleo do planeta ( ):
Agora, a massa da nuvem de poeira até o raio ( ):
Então, a massa total dentro do raio é:

Passo 5

Substituindo na fórmula da força gravitacional, temos:
Substituindo a expressão de :
Podemos fatorar :

Resposta

A força sobre a partícula de massa posicionada na nuvem de poeira é:

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