Um planeta de densidade rho1 (núcleo esférico, raio R1 ) com uma nuvem de poeira esférica espessa (densidade rho2, raio R2 ) é descrito. Qual é a força sobre uma partícula de massa m posicionada na nuvem de poeira?

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é o problema que estamos resolvendo. Temos um planeta com um núcleo esférico de densidade rho1 e raio R1. Ao redor desse núcleo, há uma nuvem de poeira que também é esférica, mas mais espessa, com densidade rho2 e raio R2. A questão pergunta qual é a força gravitacional exercida sobre uma partícula de massa m que está posicionada nessa nuvem de poeira.
Aqui, vamos utilizar conceitos de Gravitação, especificamente a Lei da Gravitação Universal de Newton. Precisamos calcular a força gravitacional resultante da combinação do núcleo do planeta e da nuvem de poeira sobre a partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos dá a força gravitacional entre duas massas:
F = G M cdot mr^2
Onde:
  • F é a força gravitacional,
  • G é a constante gravitacional ( 6,674 times 10^-11 , Ncdotm^2/kg^2),
  • M é a massa que está exercendo a força,
  • m é a massa da partícula,
  • r é a distância entre os centros das duas massas.

Passo 3

No nosso caso, a massa que está exercendo a for��a sobre a partícula de massa m é a massa dentro de uma esfera de raio igual à posição da partícula na nuvem de poeira. Vamos chamar essa distância de r, onde R1 <= r <= R2.
A massa total M(r) dentro desse raio r é composta pela massa do núcleo do planeta mais a massa da parte da nuvem de poeira até esse raio r.

Passo 4

Vamos calcular a massa do núcleo do planeta ( M1):
M1 = 43 pi R1^3 rho1
Agora, a massa da nuvem de poeira até o raio r ( Mnuvem(r)):
Mnuvem(r) = 43 pi (r^3 - R1^3) rho2
Então, a massa total dentro do raio r é:
M(r) = M1 + Mnuvem(r) = 43 pi R1^3 rho1 + 43 pi (r^3 - R1^3) rho2

Passo 5

Substituindo M(r) na fórmula da força gravitacional, temos:
F = G M(r) cdot mr^2
Substituindo a expressão de M(r):
F = G ( 43 pi R1^3 rho1 + 43 pi (r^3 - R1^3) rho2 ) cdot mr^2
Podemos fatorar 43 pi:
F = G 43 pi ( R1^3 rho1 + (r^3 - R1^3) rho2 ) mr^2

Resposta

A força sobre a partícula de massa m posicionada na nuvem de poeira é:
F = G cdot 43 pi ( R1^3 rho1 + (r^3 - R1^3) rho2 ) cdot mr^2

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