Considere um fio retilíneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uniformemente carregado com densidade linear de carga
. Embora não exista um fio infinito, em diversas situações fios muito extensos poderão ser aproximados como tal. Calcule, utilizando a Lei de Gauss, o campo eletrostático do fio em um ponto P qualquer que não coincida com os pontos do fio.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um fio retilíneo infinito que está carregado de forma uniforme, ou seja, tem uma densidade linear de carga representada por
. Nosso objetivo é calcular o campo eletrostático nesse fio em um ponto
que está a uma certa distância do fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos de distribuições de carga com alta simetria.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, como o fio é infinito e a distribuição de carga é uniforme, a simetria do problema nos permite escolher uma superfície gaussiana apropriada para simplificar os cálculos. Vamos escolher um cilindro imaginário coaxial com o fio, de modo que a superfície do cilindro tenha duas faces circulares e uma superf��cie lateral.
Passo 3
Agora, vamos analisar o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria do problema, o campo elétrico
tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. Nas faces circulares do cilindro (as bases), o campo elétrico é paralelo à superfície, então não contribui para o fluxo.
Portanto, o fluxo total é apenas através da superfície lateral, que tem uma área de
, onde
é a distância do fio ao ponto
e
é o comprimento do cilindro.
Passo 4
A carga total dentro do cilindro é a densidade linear de carga
multiplicada pelo comprimento
:
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é constante ao longo da superfície lateral e pode ser colocado fora da integral.
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
O campo eletrostático no ponto
é dado por: