Considere um fio retilíneo e extremamente longo (fio infinito, como se costuma dizer) uniformemente carregado com densidade linear de carga . Embora não exista um fio infinito, em diversas situações fios muito extensos poderão ser aproximados como tal. Calcule, utilizando a Lei de Gauss, o campo eletrostático do fio em um ponto P qualquer que não coincida com os pontos do fio.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um fio retilíneo infinito que está carregado de forma uniforme, ou seja, tem uma densidade linear de carga representada por . Nosso objetivo é calcular o campo eletrostático nesse fio em um ponto que está a uma certa distância do fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos de distribuições de carga com alta simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total que passa por uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica . Matematicamente, isso é representado por:
í
No nosso caso, como o fio é infinito e a distribuição de carga é uniforme, a simetria do problema nos permite escolher uma superfície gaussiana apropriada para simplificar os cálculos. Vamos escolher um cilindro imaginário coaxial com o fio, de modo que a superfície do cilindro tenha duas faces circulares e uma superf��cie lateral.

Passo 3

Agora, vamos analisar o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana. Devido à simetria do problema, o campo elétrico tem a mesma magnitude em todos os pontos da superfície lateral do cilindro e é perpendicular a ela. Nas faces circulares do cilindro (as bases), o campo elétrico é paralelo à superfície, então não contribui para o fluxo.
Portanto, o fluxo total é apenas através da superfície lateral, que tem uma área de , onde é a distância do fio ao ponto e é o comprimento do cilindro.

Passo 4

A carga total dentro do cilindro é a densidade linear de carga multiplicada pelo comprimento :
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui, é constante ao longo da superfície lateral e pode ser colocado fora da integral.

Passo 5

Agora, vamos resolver para :

Resposta

O campo eletrostático no ponto é dado por:

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