Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido:
dada por
, no ponto
, onde
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar o vetor gradiente de uma função no ponto específico
. O conteúdo principal aqui é o gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função de duas variáveis
, o vetor gradiente é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função dada é:
Para
, tratamos
como uma constante:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, tratamos
como uma constante:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o vetor gradiente:
Passo 6
Vamos agora avaliar o vetor gradiente no ponto
. Substituímos
e
na expressão:
Sabemos que
,
. Então:
Resposta
O vetor gradiente da função
no ponto
é:
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Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente.
dada por
, no ponto
.
A função
abaixo é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente.
dada por
, no ponto
.
Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido:
dada por
, no ponto
, onde
.