Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido: dada por , no ponto , onde .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável onde precisamos encontrar o vetor gradiente de uma função no ponto específico . O conteúdo principal aqui é o gradiente, que nos ajuda a entender como a função muda em diferentes direções. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. Para uma função de duas variáveis , o vetor gradiente é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função dada é:
Para , tratamos como uma constante:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, tratamos como uma constante:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o vetor gradiente:

Passo 6

Vamos agora avaliar o vetor gradiente no ponto . Substituímos e na expressão:
Sabemos que , . Então:

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto é:

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