Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por , no ponto .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a matriz jacobiana da função definida por
no ponto . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente o cálculo de matrizes jacobianas para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Para uma função vetorial , a jacobiana é uma matriz de derivadas parciais organizada assim:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da função em relação a e .

Passo 3

Vamos chamar as componentes da função de :
Vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e .

Passo 4

Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Novamente, usando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos agora calcular as derivadas parciais de . Primeira, a derivada parcial de em relação a :

Passo 7

Finalmente, a derivada parcial de em relação a :

Passo 8

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar a matriz jacobiana:

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa matriz no ponto . Primeiro, calculamos quando e :
Substituindo na matriz:

Resposta

A matriz jacobiana da função no ponto é

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