Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente.
dada por
, no ponto
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a matriz jacobiana da função
definida por
no ponto
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente o cálculo de matrizes jacobianas para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz jacobiana. Para uma função vetorial
, a jacobiana é uma matriz de derivadas parciais organizada assim:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente da função
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos chamar as componentes da função de
:
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Passo 4
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Novamente, usando a regra do quociente:
Passo 6
Vamos agora calcular as derivadas parciais de
. Primeira, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 7
Finalmente, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 8
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar a matriz jacobiana:
Passo 9
Agora, vamos avaliar essa matriz no ponto
. Primeiro, calculamos
quando
e
:
Substituindo na matriz:
Resposta
A matriz jacobiana da função
no ponto
é
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, no ponto
, onde
.
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, no ponto
.