Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido: f: D ⊆ R² → R dada por f(x, y) = x/y + y/x, no ponto (x0, y0) = (2, 6), onde D = {(x, y) em R^2: x * y != 0}.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o vetor gradiente da função no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que fazem parte do estudo de cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja,
Isso significa que precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função é:
Derivando cada termo em relação a :
Aqui, usamos a regra da potência e a derivada de uma constante multiplicada por uma variável.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
De novo, aplicamos a regra da potência para derivar cada termo em relação a .

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, agora vamos avaliá-las no ponto :
Para :
Para :

Resposta

O vetor gradiente no ponto é .

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