Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à função no ponto . Isso vai envolver cálculo de derivadas parciais para achar as inclinações no ponto específico. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Isso significa substituir e por 1 na função:
Sabemos que , e . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Vamos começar com :
A derivada de em relação a usando a regra da cadeia é:
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é 0. Então:
Agora, vamos para :
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é 0, e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora vamos avaliar e no ponto :
Para :
Para :

Passo 5

Com os valores de , e , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo , :

Resposta

A equação do plano tangente é:

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