Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por no ponto , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Jacobiana da função no ponto . A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que compõem . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Jacobiana. Para uma função , a Jacobiana é uma matriz 2x2 onde cada elemento é uma derivada parcial:
Nosso objetivo é calcular essa matriz no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais da primeira função, .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da segunda função, .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos agora avaliar cada uma no ponto .
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

A Jacobiana de no ponto é:

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Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .
Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido: dada por , no ponto , onde .
Determine a equação do plano tangente das funções abaixo: , no ponto .
Esboce o gráfico de considerando:
(a) Interseções com os eixos
(b) Pontos críticos
© Máximos e mínimos locais
(d) Intervalos de crescimento e decrescimento
(e) Limites no infinito
(f) Intervalos de concavidades