Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. f: D ⊆ R^2 → R^2 dada por f(x, y) = (x/y + y/x, x^3 * y^2 + 3 * x * y^2 + 2 * x + 4 * y + 2) no ponto (x0, y0) = (2, 6), onde D = {(x, y) em R^2: x * y != 0}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Jacobiana da função no ponto . A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que compõem . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Jacobiana. Para uma função , a Jacobiana é uma matriz 2x2 onde cada elemento é uma derivada parcial:
Nosso objetivo é calcular essa matriz no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais da primeira função, .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da segunda função, .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos agora avaliar cada uma no ponto .
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

A Jacobiana de no ponto é:

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