Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por no ponto , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Jacobiana da função no ponto . A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que compõem . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de cada componente de em relação a e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Jacobiana. Para uma função , a Jacobiana é uma matriz 2x2 onde cada elemento é uma derivada parcial:
Nosso objetivo é calcular essa matriz no ponto .
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais da primeira função, .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da segunda função, .
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos agora avaliar cada uma no ponto .