Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o vetor normal unitário associado à superfície parametrizada por . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre vetores normais a superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Simplificando:
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Então:
Passo 3
Agora que temos os vetores tangentes e , vamos encontrar o vetor normal à superfície. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular:
Então:
Passo 4
Agora, vamos transformar esse vetor normal em um vetor unitário, ou seja, com módulo igual a 1. Para isso, precisamos calcular o módulo de e dividir cada componente de por esse módulo.
Calculando o módulo de :
Simplificando:
Agora, o vetor normal unitário é:
Simplificando:
Resposta
O vetor normal unitário associado à superfície parametrizada é: