Calcule o vetor normal unitário associado às superfícies parametrizadas: r(u, v) = 3 sen(2u) i + 6 sen^2(u) j + v k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o vetor normal unitário associado à superfície parametrizada por . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre vetores normais a superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Simplificando:
Calculando (derivada parcial em relação a ):
Então:

Passo 3

Agora que temos os vetores tangentes e , vamos encontrar o vetor normal à superfície. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores.
Vamos calcular:
Então:

Passo 4

Agora, vamos transformar esse vetor normal em um vetor unitário, ou seja, com módulo igual a 1. Para isso, precisamos calcular o módulo de e dividir cada componente de por esse módulo.
Calculando o módulo de :
Simplificando:
Agora, o vetor normal unitário é:
Simplificando:

Resposta

O vetor normal unitário associado à superfície parametrizada é:

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