Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada pelas equações:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores. Precisaremos calcular as derivadas das funções que definem a curva, encontrar os vetores tangente e normal, e então transformá-los em vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a curva como um vetor posição em função de :
Isso nos ajuda a visualizar a curva no plano e facilita a aplicação das operações vetoriais.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada do vetor posição em relação a , que nos dá o vetor velocidade:
Esse vetor indica a direção da curva em cada ponto .
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor tangente. Para isso, normalizamos o vetor velocidade:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário fica:
Passo 5
Agora, para encontrar o vetor normal, precisamos derivar o vetor tangente em relação a e, em seguida, normalizá-lo: