Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo: x = ln(t), y = t^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada pelas equações:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de funções vetoriais e normalização de vetores. Precisaremos calcular as derivadas das funções que definem a curva, encontrar os vetores tangente e normal, e então transformá-los em vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a curva como um vetor posição em função de :
Isso nos ajuda a visualizar a curva no plano e facilita a aplicação das operações vetoriais.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada do vetor posição em relação a , que nos dá o vetor velocidade:
Esse vetor indica a direção da curva em cada ponto .

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor tangente . Para isso, normalizamos o vetor velocidade:
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor tangente unitário fica:

Passo 5

Agora, para encontrar o vetor normal , precisamos derivar o vetor tangente em relação a e, em seguida, normalizá-lo:
Vamos calcular :
Portanto:
Agora, calculamos o módulo de :
Finalmente, o vetor normal unitário é:
Simplificando:

Resposta

O vetor tangente unitário é:
E o vetor normal unitário é:

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