Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série
. Esse exercício tá relacionado com séries infinitas e, mais especificamente, com a análise de convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre somas parciais, termos gerais e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que o denominador é um produto sequencial de números até
e depois multiplicado por
. Isso pode ser reescrito como
(fatorial de
) vezes
. Então, nosso termo geral fica:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o termo geral da sequência das somas parciais, ou seja,
. Para isso, vamos tentar simplificar
de uma forma que facilite a soma. Uma técnica útil aqui é expressar
como uma diferença de termos que se cancelam quando somamos vários deles. Isso é conhecido como somatório telescópico.
Passo 4
Vamos tentar escrever
como:
Onde
é alguma função que queremos determinar. Vamos assumir que
. Então:
Simplificando:
Então, está confirmado que:
Passo 5
Com isso, a soma parcial
fica:
Agora, vamos calcular
e analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito:
E:
Já que
cresce muito rápido, o limite de
é zero.
Resposta
A série converge e sua soma é
.
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;
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§
§
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.
Quanto receberá uma pessoa ao resgatar hoje um título no valor de
, cujo vencimento ocorrerá ao fim de 3 meses, se o banco cobra uma taxa de
ao mês?