Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(g) sumn=1^infty 11.2 cdot 3 cdot 4.5 cdots cdot n cdot(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série . Esse exercício tá relacionado com séries infinitas e, mais especificamente, com a análise de convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre somas parciais, termos gerais e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observamos que o denominador é um produto sequencial de números até an = 1n! cdot (n+2) e depois multiplicado por . Isso pode ser reescrito como (fatorial de ) vezes . Então, nosso termo geral fica:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o termo geral da sequência das somas parciais, ou seja, . Para isso, vamos tentar simplificar de uma forma que facilite a soma. Uma técnica útil aqui é expressar como uma diferença de termos que se cancelam quando somamos vários deles. Isso é conhecido como somatório telescópico.

Passo 4

Vamos tentar escrever an = bn - bn+1 como:
bn - bn+1 = 1n! cdot (n+1) - 1(n+1)! cdot (n+2)
Onde 1n! cdot (n+1) - 1(n+1) cdot n! cdot (n+2) = n+2 - 1n! cdot (n+1) cdot (n+2) = n+1n! cdot (n+1) cdot (n+2) = 1n! cdot (n+2) = an é alguma função que queremos determinar. Vamos assumir que an = bn - bn+1 . Então:
Simplificando:
Então, está confirmado que:

Passo 5

Com isso, a soma parcial Sk = sumn=1^k (bn - bn+1) = b1 - bk+1 fica:
b1 = 11! cdot (1+1) = 12
Agora, vamos calcular limk to infty bk+1 = limk to infty 1(k+1)! cdot (k+2) = 0 e analisar o comportamento de quando tende ao infinito:
E:
Já que cresce muito rápido, o limite de é zero.

Resposta

A série converge e sua soma é .

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