Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
lx1+x2+x3=1 x1+x2-2 x3=3 2 x1+x2+x3=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você enviou. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente os métodos de escalonamento (eliminaçao gaussiana), método da inversa e método de Cramer. Precisamos encontrar os valores de , e que satisfazem todas as três equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Vamos começar pelo método de escalonamento. Esse método envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular, facilitando a resolução passo a passo.
Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 1 & 1 & | & 1 1 & 1 & -2 & | & 3 2 & 1 & 1 & | & 2
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar (1-1) (1-1) (-2-1) | 3-1 Rightarrow 0 0 -3 | 2 :
Linha 2 = Linha 2 - Linha 1:
(2-2) (1-2) (1-2) | 2-2 Rightarrow 0 -1 -1 | 0
Linha 3 = Linha 3 - 2 * Linha 1:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 0 & -3 & | & 2 0 & -1 & -1 & | & 0
Nossa matriz fica:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & -1 & -1 & | & 0 0 & 0 & -3 & | & 2
Agora, vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar:
Resolvemos de baixo para cima:
Da terceira equação:
Da segunda equação:
Da primeira equação:

Passo 3

Agora, vamos usar o método da inversa. Primeiro, escrevemos o sistema na forma A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -2 2 & 1 & 1 , X = x1 x2 x3 , B = 1 3 2 :
det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - (-2) cdot 2) + 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 2) = 1(1 + 2) - 1(1 + 4) + 1(1 - 2) = 3 - 5 -1 = -3
Para encontrar X = A^-1B = 1 23 -23 , calculamos e multiplicamos por : .
Calculando o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, tem inversa.
Encontramos e multiplicamos por :

Passo 4

Por último, vamos aplicar o método de Cramer. Esse método utiliza determinantes para encontrar cada variável.
As fórmulas de Cramer para xi = det(Ai)det(A) , A1 = 1 & 1 & 1 3 & 1 & -2 2 & 1 & 1 , det(A1) = 1(1 cdot 1 - (-2) cdot 1) - 1(3 cdot 1 - (-2) cdot 2) + 1(3 cdot 1 - 1 cdot 2) = 1(1 + 2) - 1(3 + 4) + 1(3 -2) = 3 -7 +1 = -3 e x1 = -3-3 = 1 são:
A2 = 1 & 1 & 1 1 & 3 & -2 2 & 2 & 1 , det(A2) = 1(3 cdot 1 - (-2) cdot 2) - 1(1 cdot 1 - (-2) cdot 2) + 1(1 cdot 2 - 3 cdot 2) = 1(3 +4) -1(1 +4) +1(2 -6) = 7 -5 -4 = -2
onde x2 = -2-3 = 23 é a matriz A3 = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 3 2 & 1 & 2 , det(A3) = 1(1 cdot 2 - 3 cdot 1) - 1(1 cdot 2 - 3 cdot 2) + 1(1 cdot 1 -1 cdot 2) = 1(2 -3) -1(2 -6) +1(1 -2) = -1 +4 -1 = 2 com a x3 = 2-3 = -23 -ésima coluna substituída por .
Já calculamos .
Calculamos :
Então,
Calculamos :
Então,
Calculamos :
Então,

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 1, x2 = 23, x3 = -23

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