Sejam e dois vértices de um paralelogramo e é o ponto de encontro das diagonais. Calcule a área do paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos dois pontos, A(1,3,4) e B(3,2,0), que são vértices de um paralelogramo. Além disso, sabemos que as diagonais desse paralelogramo se cruzam no ponto P(2,1,1). Nosso objetivo é descobrir a área desse paralelogramo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria vetorial, especialmente sobre vetores e área de paralelogramos no espaço tridimensional. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas diagonais de um paralelogramo, o ponto de encontro P é o ponto médio de ambas as diagonais. Ou seja, P está no meio de A a C e de B a D, onde C e D são os outros vértices do paralelogramo que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos encontrar as coordenadas dos pontos C e D. Como P é o ponto médio de A e C, podemos usar a fórmula do ponto médio:
Sabemos que P(2,1,1) e A(1,3,4). Vamos igualar:
Portanto, C(3,-1,-2).
Passo 4
Agora, vamos fazer a mesma coisa para encontrar D, sabendo que P é o ponto médio de B e D:
Com B(3,2,0) e P(2,1,1):
Então, D(1,0,2).
Passo 5
Agora que temos todos os quatro vértices do paralelogramo: A(1,3,4), B(3,2,0), C(3,-1,-2) e D(1,0,2), podemos calcular dois vetores adjacentes para encontrar a área.
Vamos escolher os vetores e :
Passo 6
A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial desses dois vetores: