Calcule um vetor t.q. e são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear que pede para encontrar um vetor em tal que, juntamente com os vetores , e , formem um conjunto linearmente independente. Isso está relacionado ao conceito de independência linear, onde nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente usando determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores em é linearmente independente se o determinante da matriz formada por esses vetores for diferente de zero. Então, vamos formar uma matriz onde cada coluna é um dos vetores:
Nosso objetivo é garantir que o determinante dessa matriz seja diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante pode ser calculado expandindo pela primeira coluna:
Vamos calcular cada um desses menores determinantes.

Passo 4

Calculando o primeiro menor:
Calculando o segundo menor:
Calculando o terceiro menor:
Calculando o quarto menor:

Passo 5

Agora, substituindo os valores dos menores no determinante total:
Isso significa que o determinante da matriz é zero, independentemente dos valores de .

Passo 6

Como o determinante é sempre zero, isso implica que os quatro vetores são linearmente dependentes para qualquer valor de . Portanto, não existe um vetor que, junto com os outros três, forme um conjunto linearmente independente.

Resposta

Não existe um vetor em que, junto com , e , forme um conjunto linearmente independente.

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