Verifique se em cada um dos itens o conjunto V, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre R.
(d) V=f: R R ; f(-x)=f(x), para x in R, munido das operações usuais de funções.

Passo 1

Beleza, vamos olhar o que a questão pede. Temos o conjunto que é formado por todas as funções reais que são pares, ou seja, para todo em . A gente quer verificar se esse conjunto , com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são satisfeitos nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde a gente pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar (número real, no caso), e tudo isso deve obedecer a certos axiomas, como associatividade, existência de um vetor zero, e assim por diante.

Passo 3

Vamos começar verificando se a adição de duas funções pares resulta em outra função par. Seja (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) e duas funções em . Então, para todo , temos:
Isso mostra que também é uma função par, então a adição está preservada dentro de .

Passo 4

Agora, vamos ver se multiplicar uma função par por um escalar real mantém ela dentro de (cf)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (cf)(x) . Seja um escalar real e uma função em . Então:
Isso confirma que também é uma função par, então a multiplicação por escalar está preservada.

Passo 5

Precisamos ainda verificar alguns axiomas adicionais, como a existência do vetor zero. A função zero, definida por para todo , é par porque . Além disso, outras propriedades como associatividade e distributividade também são satisfeitas pelas operações usuais de funções.

Resposta

Sim, o conjunto é um espaço vetorial sobre .

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