Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
(d)
, para
, munido das operações usuais de funções.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos olhar o que a questão pede. Temos o conjunto
que é formado por todas as funções reais
que são pares, ou seja,
para todo
em
. A gente quer verificar se esse conjunto
, com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles são satisfeitos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores, onde a gente pode adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar (número real, no caso), e tudo isso deve obedecer a certos axiomas, como associatividade, existência de um vetor zero, e assim por diante.
Passo 3
Vamos começar verificando se a adição de duas funções pares resulta em outra função par. Seja
e
duas funções em
. Então, para todo
, temos:
Isso mostra que
também é uma função par, então a adição está preservada dentro de
.
Passo 4
Agora, vamos ver se multiplicar uma função par por um escalar real mantém ela dentro de
. Seja
um escalar real e
uma função em
. Então:
Isso confirma que
também é uma função par, então a multiplicação por escalar está preservada.
Passo 5
Precisamos ainda verificar alguns axiomas adicionais, como a existência do vetor zero. A função zero, definida por
para todo
, é par porque
. Além disso, outras propriedades como associatividade e distributividade também são satisfeitas pelas operações usuais de funções.
Resposta
Sim, o conjunto
é um espaço vetorial sobre
.
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t.q.
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sejam linearmente independentes?
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t.q.
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são linearmente independentes.
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e
dois vetores em um espaço vetorial V. Mostre que
e
são linearmente dependentes se e somente se um dos vetores é um múltiplo escalar do outro.
Verifique se em cada um dos itens o conjunto
, munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre
.
(h) e
, munido das operações usuais de
.
(h)