É possível calcular um vetor t.q. e sejam linearmente independentes?
Passo 1
Beleza, vamos abordar essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar um vetor em que, junto com os vetores , e , seja linearmente independente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e sistemas de equações, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos que os quatro vetores não possam ser combinados dessa forma.
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Para que esses vetores sejam linearmente independentes, o posto (rank) dessa matriz precisa ser igual ao número de vetores, que é 4. Mas atenção: como estamos em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso já dá um sinal de que algo está estranho.
Passo 4
Vamos confirmar isso calculando o determinante de uma submatriz . Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes. Vamos considerar os três vetores fixos , e :
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os três vetores são linearmente dependentes.
Passo 5
Dado que já temos três vetores que são linearmente dependentes, adicionar mais um vetor certamente não vai aumentar a independência. Em espaços de dimensão , não podemos ter mais de vetores linearmente independentes.
Resposta
Não, não é possível encontrar um vetor em que, junto com , e , seja linearmente independente.