É possível calcular um vetor t.q. e sejam linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos abordar essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar um vetor em que, junto com os vetores , e , seja linearmente independente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e sistemas de equações, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos que os quatro vetores não possam ser combinados dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Para que esses vetores sejam linearmente independentes, o posto (rank) dessa matriz precisa ser igual ao número de vetores, que é 4. Mas atenção: como estamos em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso já dá um sinal de que algo está estranho.

Passo 4

Vamos confirmar isso calculando o determinante de uma submatriz . Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes. Vamos considerar os três vetores fixos , e :
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Dado que já temos três vetores que são linearmente dependentes, adicionar mais um vetor certamente não vai aumentar a independência. Em espaços de dimensão , não podemos ter mais de vetores linearmente independentes.

Resposta

Não, não é possível encontrar um vetor em que, junto com , e , seja linearmente independente.

Exercícios relacionados

Calcule um vetor t.q. e são linearmente independentes.
Verifique se pertence ao subespa c co gerado por e .
Verifique se em cada um dos itens o conjunto , munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre .
(d) , para , munido das operações usuais de funções.
Seja e dois vetores em um espaço vetorial V. Mostre que e são linearmente dependentes se e somente se um dos vetores é um múltiplo escalar do outro.