É possível calcular um vetor (x1, x2, x3) in R^3 t.q. (x1, x2, x3),(-1,0,1),(1,1,1) e (1,2,3) in R^3 sejam linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos abordar essa questão juntos! A pergunta é sobre encontrar um vetor em que, junto com os vetores , e , seja linearmente independente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como independência linear e sistemas de equações, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos que os quatro vetores não possam ser combinados dessa forma.

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
x1 & -1 & 1 & 1 x2 & 0 & 1 & 2 x3 & 1 & 1 & 3
Para que esses vetores sejam linearmente independentes, o posto (rank) dessa matriz precisa ser igual ao número de vetores, que é 4. Mas atenção: como estamos em , o máximo de vetores linearmente independentes é 3. Isso já dá um sinal de que algo está estranho.

Passo 4

Vamos confirmar isso calculando o determinante de uma submatriz -1 & 1 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 3 . Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes. Vamos considerar os três vetores fixos -1 times (1 times 3 - 2 times 1) - 1 times (0 times 3 - 2 times 1) + 1 times (0 times 1 - 1 times 1) = -1 times (3 - 2) -1 times (0 - 2) +1 times (0 -1) = -1 + 2 -1 = 0 , e :
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, os três vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Dado que já temos três vetores que são linearmente dependentes, adicionar mais um vetor certamente não vai aumentar a independência. Em espaços de dimensão , não podemos ter mais de vetores linearmente independentes.

Resposta

Não, não é possível encontrar um vetor em que, junto com , e , seja linearmente independente.

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