Calcule os vetores posição em t=2 s ? Uma partícula de 5 kg se move no plano x y e a função horária da velocidade é dada por v(t)=(5+4 t-3 t^2) x+(3-2 t) y, com r(1)=2(x-y) m, v em m / s, t em s.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Cinemática no plano v(t) = (5 + 4t - 3t^2) x + (3 - 2t) y , m/s . Temos uma partícula com massa de 5 kg cuja velocidade em função do tempo é dada por:
r(1) = 2(x - y) , m
Sabemos também que a posição da partícula no tempo é:
Queremos encontrar a posição da partícula no tempo . Para isso, vamos integrar a função velocidade para encontrar a posição em função do tempo e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a componente vx(t) = 5 + 4t - 3t^2 da velocidade para encontrar a posição em integral vx(t) , dt = integral (5 + 4t - 3t^2) , dt = 5t + 2t^2 - t^3 + Cx . A função velocidade em é:
Integrando em relação ao tempo :
Aqui, é a constante de integração para a componente .

Passo 3

Agora, vamos integrar a componente vy(t) = 3 - 2t da velocidade para encontrar a posição em integral vy(t) , dt = integral (3 - 2t) , dt = 3t - t^2 + Cy . A função velocidade em é:
Integrando em relação ao tempo :
Aqui, é a constante de integração para a componente .

Passo 4

Temos agora as funções posição em x(t) = 5t + 2t^2 - t^3 + Cx e y(t) = 3t - t^2 + Cy :
x(1) = 2 e y(1) = -2
Para encontrar as constantes e , usamos a condição inicial dada: . Isso significa que em :

Passo 5

Vamos substituir x(1) = 5(1) + 2(1)^2 - (1)^3 + Cx = 5 + 2 - 1 + Cx = 6 + Cx = 2 nas equações de y(1) = 3(1) - (1)^2 + Cy = 3 - 1 + Cy = 2 + Cy = -2 e 6 + Cx = 2 implies Cx = -4 :
2 + Cy = -2 implies Cy = -4
Resolvendo para e :

Passo 6

Agora que temos as constantes, podemos escrever as funções posição completas:
x(t) = 5t + 2t^2 - t^3 - 4
y(t) = 3t - t^2 - 4

Passo 7

Por fim, substituímos x(2) = 5(2) + 2(2)^2 - (2)^3 - 4 = 10 + 8 - 8 - 4 = 6 , m nas funções posição para encontrar y(2) = 3(2) - (2)^2 - 4 = 6 - 4 - 4 = -2 , m :

Resposta

A posição da partícula em r(2) = 6, x - 2, y , m é:

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