Calcule o volume abaixo de gráfico de
e acima de
se:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume que está abaixo do gráfico da função
e acima da região
, que é definida por
e
. Vamos usar cálculo de integrais duplas para isso. Isso significa que vamos somar infinitos pedacinhos de área na região
e multiplicar pela altura dada por
para encontrar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
e
define um quadrado no plano
com lados de comprimento 2, centralizado na origem. Isso significa que
varia de -1 a 1 e, para cada valor de
,
também varia de -1 a 1.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla que representa o volume. A fórmula geral para calcular o volume
abaixo de
e acima de
é:
No nosso caso, isso fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante durante essa parte. A integral interna é:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Como
não depende de
, a primeira parte fica:
A segunda parte é:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a
:
Vamos novamente separar essa integral:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas partes para encontrar o volume total:
Resposta
O volume abaixo do gráfico de
e acima da região
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
Esboce a região de integração e calcule a integral dupla para:
com
a região triangular com vértices
e
.
Derive as seguintes funções:
Inverta a ordem de integração para derivar a fórmula
com
e
constantes e
.