Inverta a ordem de integração para derivar a fórmula
com
e
constantes e
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma dupla integral. A ideia é transformar a integral dupla
em uma integral simples equivalente. Vamos usar conhecimentos de integração múltipla e como mudar os limites de integração para chegar na fórmula que a gente quer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Aqui,
varia de 0 até
, e para cada
,
varia de 0 até
. Se desenharmos isso no plano
, a região é um triângulo onde
está abaixo de
e ambos vão de 0 a
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vamos fixar
primeiro. Observando a região, para cada
fixo,
varia de
até
. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, a gente integra em relação a
. Como a função
não depende de
, a integral interna é simples:
Passo 5
Substituindo de volta na integral principal, temos:
Resposta
A integral original pode ser reescrita como
Exercícios relacionados
Derive as seguintes funções:
Calcule o volume abaixo de gráfico de
e acima de
se:
e
.
Usando a regra da cadeia. Para
. Diferencie
Transforme a integral em coordenadas polares e resolva.