Calcule o volume do cilindro entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a questão pede é para calcular o volume de um cilindro definido pela equação entre os planos e . Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre cilindros e cálculo de volume. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do volume de um cilindro e identificar os parâmetros necessários nela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa é a equação de um cilindro circular reto. A forma geral dessa equação é , onde é o raio da base do cilindro. Então, aqui, , o que significa que o raio é 2 unidades.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os planos que limitam o cilindro: e . Esses planos determinam a altura do cilindro. A diferença entre esses valores de nos dá a altura do cilindro. Então, unidades.

Passo 4

Com o raio e a altura conhecidos, podemos usar a fórmula do volume de um cilindro. A fórmula é:
Onde:
  • é o volume,
  • é uma constante (aproximadamente 3,1416),
  • é o raio da base,
  • é a altura.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos na fórmula:
Primeiro, calculamos .
Então:

Resposta

O volume do cilindro é unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Encontre a área de superfície do gráfico de sobre a região .
Determine o centro de massa da região limitada por e com densidade constante .