Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo z. Os planos e cortam esse cilindro, formando o sólido cujo volume queremos determinar.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a base do cilindro é circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é dado por .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • Para : varia de 0 a 1, que é o raio do cilindro.
  • Para : varia de 0 a , cobrindo toda a circunferência.
  • Para : varia de 0 (plano inferior) até . Como , então varia de 0 a .

Passo 5

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a :
Assim, a integral fica:

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:

Passo 8

Integrando em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
(Observando que a integral de em um período completo é zero.)

Resposta

Portanto, o volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule a área da região delimitada por .
Calcule o volume do cilindro entre os planos e .