Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e .
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo cilindro e pelos planos e . Vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo z. Os planos e cortam esse cilindro, formando o sólido cujo volume queremos determinar.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a base do cilindro é circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é dado por .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração:
Para : varia de 0 a 1, que é o raio do cilindro.
Para : varia de 0 a , cobrindo toda a circunferência.
Para : varia de 0 (plano inferior) até . Como , então varia de 0 a .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a :
Assim, a integral fica:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Passo 8
Integrando em relação a :
Substituindo na integral:
Passo 9
Agora, integramos em relação a :
(Observando que a integral de em um período completo é zero.)