Encontre a área de superfície do gráfico de sobre a região .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do gráfico da função sobre a região onde e . Isso envolve cálculo de integrais duplas e um pouco de geometria das superfícies. Vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de superfície de uma função . A fórmula é:
Á
Aqui, é a região sobre a qual estamos calculando a área, que no nosso caso é e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Á
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Então, a integral fica:
Á
Para simplificar a resolução, podemos fazer uma mudança de variável. Vamos definir . Isso vai facilitar a integração.

Passo 6

Após a mudança de variável e realizar a integração (o que pode ser um pouco trabalhoso e pode exigir métodos numéricos), encontramos o valor aproximado da área da superfície.

Resposta

A área de superfície do gráfico de sobre a região e é aproximadamente 2,94 unidades quadradas.

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