Encontre a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do gráfico da função
sobre a região onde
e
. Isso envolve cálculo de integrais duplas e um pouco de geometria das superfícies. Vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de superfície de uma função
. A fórmula é:
Aqui,
é a região sobre a qual estamos calculando a área, que no nosso caso é
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Então, a integral fica:
Para simplificar a resolução, podemos fazer uma mudança de variável. Vamos definir
. Isso vai facilitar a integração.
Passo 6
Após a mudança de variável e realizar a integração (o que pode ser um pouco trabalhoso e pode exigir métodos numéricos), encontramos o valor aproximado da área da superfície.
Resposta
A área de superfície do gráfico de
sobre a região
e
é aproximadamente 2,94 unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do cilindro
entre os planos
e
.
Determine o centro de massa da região limitada por
e
com densidade constante
.