Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de
no intervalo de
a
tanto para
quanto para
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar mudar para coordenadas polares, o que vai facilitar a integração de funções que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa mudar para coordenadas polares. Em vez de usar
e
, usamos
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). As relações são:
E o diferencial de área
se transforma em
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever nossa integral dupla em coordenadas polares. A função dentro da integral,
, fica
, já que
. Então, nossa integral fica:
Aqui, ajustamos os limites de integração para cobrir o quadrante onde
e
, garantindo que
e
fiquem entre
e
.
Passo 4
A integral interna agora é em termos de
:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
ou
. Substituindo, temos:
Passo 5
Calculando os limites, obtemos:
Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
Passo 6
Essa integral resultante ainda não é fácil de resolver analiticamente, pois envolve
, que não possui uma primitiva em termos de funções elementares. Portanto, para obter um valor numérico, podemos utilizar métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson.
Passo 7
Utilizando uma calculadora ou software de cálculo numérico, aproximamos a integral:
Resposta
A integral dupla
é aproximadamente igual a
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule o volume abaixo do plano
e acima da região
.
Calcule o volume do cilindro
entre os planos
e
.
Encontre a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.