Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de no intervalo de a tanto para quanto para . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar mudar para coordenadas polares, o que vai facilitar a integração de funções que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa mudar para coordenadas polares. Em vez de usar e , usamos (a distância do ponto à origem) e (o ângulo em relação ao eixo ). As relações são:
E o diferencial de área se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos reescrever nossa integral dupla em coordenadas polares. A função dentro da integral, , fica , já que . Então, nossa integral fica:
Aqui, ajustamos os limites de integração para cobrir o quadrante onde e , garantindo que e fiquem entre e .

Passo 4

A integral interna agora é em termos de :
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então ou . Substituindo, temos:

Passo 5

Calculando os limites, obtemos:
Agora, substituímos isso de volta na integral externa:

Passo 6

Essa integral resultante ainda não é fácil de resolver analiticamente, pois envolve , que não possui uma primitiva em termos de funções elementares. Portanto, para obter um valor numérico, podemos utilizar métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson.

Passo 7

Utilizando uma calculadora ou software de cálculo numérico, aproximamos a integral:

Resposta

A integral dupla é aproximadamente igual a .

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