integral0^1 integral0^1 sin (x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de no intervalo de a tanto para quanto para . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar mudar para coordenadas polares, o que vai facilitar a integração de funções que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa mudar para coordenadas polares. Em vez de usar x = r cos(theta) e y = r sin(theta) , usamos (a distância do ponto à origem) e (o ângulo em relação ao eixo ). As relações são:
E o diferencial de área se transforma em .

Passo 3

Agora, vamos reescrever nossa integral dupla em coordenadas polares. A função dentro da integral, integral0^1 integral0^1 sin(x^2 + y^2),dx,dy = integral0^pi/4 integral0^1cos(theta) sin(r^2) cdot r,dr,dtheta , fica , já que . Então, nossa integral fica:
Aqui, ajustamos os limites de integração para cobrir o quadrante onde e , garantindo que e fiquem entre e .

Passo 4

A integral interna agora é em termos de integral0^1cos(theta) sin(r^2) cdot r,dr :
12 integral0^1cos(theta)^2 sin(u),du = 12 [-cos(u)]0^1cos^2(theta)
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então ou . Substituindo, temos:

Passo 5

Calculando os limites, obtemos:
12 [-cos(1cos^2(theta)) + cos(0)] = 12 [1 - cos(1cos^2(theta))]
Agora, substituímos isso de volta na integral externa:
integral0^pi/4 12 [1 - cos(1cos^2(theta))] dtheta

Passo 6

Essa integral resultante ainda não é fácil de resolver analiticamente, pois envolve , que não possui uma primitiva em termos de funções elementares. Portanto, para obter um valor numérico, podemos utilizar métodos de integração numérica, como a regra dos trapézios ou a regra de Simpson.

Passo 7

Utilizando uma calculadora ou software de cálculo numérico, aproximamos a integral:
integral0^1 integral0^1 sin(x^2 + y^2),dx,dy approx 0.310

Resposta

A integral dupla é aproximadamente igual a .

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