Calcule o volume do conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto
definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral tripla para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição do conjunto
. Ele é composto por todos os pontos
no espaço tridimensional que satisfazem:
Isso significa que
varia de 0 a 2,
de 0 a 3, e para cada par
,
varia de 0 até
.
Passo 3
Para encontrar o volume de
, vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
Aqui, integramos
primeiro, depois
, e por último
.
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
de 0 até
é simplesmente
, pois integramos uma função constante:
Então, nosso volume agora fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. Observe que a expressão
pode ser separada em duas partes:
Isso nos permite separar a integral em dois termos multiplicativos:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral em
:
Fazemos uma substituição simples: seja
, então
ou
. A integral se torna:
Avaliada de 0 a 3:
Passo 7
Agora, a integral em
:
Aqui, fazemos outra substituição: seja
, então
ou
. A integral se torna:
Avaliada de 0 a 2:
Passo 8
Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
Resposta
O volume do conjunto
é:
Exercícios relacionados
Considere a integral
, onde
é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
(b) coordenadas cilíndricas;
Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
Resolva as EDO
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