Calcule o volume do conjunto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral tripla para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição do conjunto . Ele é composto por todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem:
Isso significa que varia de 0 a 2, de 0 a 3, e para cada par , varia de 0 até .

Passo 3

Para encontrar o volume de , vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
Aqui, integramos primeiro, depois , e por último .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . A integral de de 0 até é simplesmente , pois integramos uma função constante:
Então, nosso volume agora fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . Observe que a expressão pode ser separada em duas partes:
Isso nos permite separar a integral em dois termos multiplicativos:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral em :
Fazemos uma substituição simples: seja , então ou . A integral se torna:
Avaliada de 0 a 3:

Passo 7

Agora, a integral em :
Aqui, fazemos outra substituição: seja , então ou . A integral se torna:
Avaliada de 0 a 2:

Passo 8

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:

Resposta

O volume do conjunto é:

Exercícios relacionados

Considere a integral , onde é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
Resolva as EDO
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