Calcule o volume do conjunto
B=(x, y, z) in R^3: 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3 e 0 <= z <= x y e^x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do conjunto B=(x, y, z) in R^3: 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 3 e 0 <= z <= x y e^x^2-y^2 definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral tripla para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição do conjunto 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 3, e 0 <= z <= x y e^x^2-y^2 . Ele é composto por todos os pontos no espaço tridimensional que satisfazem:
Isso significa que varia de 0 a 2, de 0 a 3, e para cada par , varia de 0 até .

Passo 3

Para encontrar o volume de Volume = integral0^2 integral0^3 integral0^x y e^x^2-y^2 dz , dy , dx , vamos usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
Aqui, integramos primeiro, depois , e por último .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral0^x y e^x^2-y^2 dz = x y e^x^2-y^2 . A integral de Volume = integral0^2 integral0^3 x y e^x^2-y^2 , dy , dx de 0 até é simplesmente , pois integramos uma função constante:
Então, nosso volume agora fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a x e^x^2 times y e^-y^2 . Observe que a expressão Volume = integral0^2 ( x e^x^2 ) ( integral0^3 y e^-y^2 , dy ) dx pode ser separada em duas partes:
Isso nos permite separar a integral em dois termos multiplicativos:

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral em integral0^3 y e^-y^2 , dy :
-12 integral e^u , du = -12 e^u + C = -12 e^-y^2 + C
Fazemos uma substituição simples: seja -12 e^-9 + 12 e^0 = 12 (1 - e^-9) , então ou . A integral se torna:
Avaliada de 0 a 3:

Passo 7

Agora, a integral em integral0^2 x e^x^2 , dx :
12 integral e^v , dv = 12 e^v + C = 12 e^x^2 + C
Aqui, fazemos outra substituição: seja 12 e^4 - 12 e^0 = 12 (e^4 - 1) , então ou . A integral se torna:
Avaliada de 0 a 2:

Passo 8

Agora, multiplicamos os resultados das duas integrais:
Volume = ( 12 (e^4 - 1) ) times ( 12 (1 - e^-9) ) = (e^4 - 1)(1 - e^-9)4

Resposta

O volume do conjunto Volume = (e^4 - 1)(1 - e^-9)4 é:

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