Resolva as EDO
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por
. O conteúdo envolvido aqui é a resolução de EDOs usando substituição. Para isso, vamos precisar aplicar a técnica de substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, identificamos uma substituição que pode simplificar a EDO. Dado que
, vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Sabemos que
, então substituindo na expressão de
temos:
Passo 4
Agora, a equação fica:
Isso é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos renomear
como
(uma nova constante):
Passo 7
Aplicando o logaritmo natural nos dois lados para resolver para
:
Multiplicando por
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva as EDO
Calcule o volume do conjunto
Mostre que, se
, então,
, para
contínua em
e de ordem exponencial para
, ao passo que
é seccionalmente contínua em
.
Seja
. Calcule
, ou seja,
. Sugestão: Faça a mudança de variável
.