Resolva as EDO d y/d x = 1 + e^(y - x + 5) ; u = y - x + 5

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada por . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de EDOs usando substituição. Para isso, vamos precisar aplicar a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, identificamos uma substituição que pode simplificar a EDO. Dado que , vamos derivar u em relação a x:

Passo 3

Sabemos que , então substituindo na expressão de temos:

Passo 4

Agora, a equação fica:
Isso é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis u e x:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é e a do lado direito é , onde C é a constante de integração:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos renomear como (uma nova constante):

Passo 7

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados para resolver para y:
Multiplicando por -1:
Finalmente, isolando y:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde C é a constante de integração.

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