Considere a integral integral triplaS 2 z1+x^2+y^2 d V, onde S é a região sólida dada por
S=(x, y, z) in R^3: 0 <= x <= raiz2, x^2+y^2 <= 4, y >= x, x^2+y^2+z^2 <= 4 e z >= 0
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa determinar os limites de integração e escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas para a região sólida . Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas cilíndricas e entender bem os limites que definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar x = r costheta, y = r sintheta, z = z , e , a gente usa (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e mesmo. As relações entre elas são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Vamos analisar os limites para o ângulo sintheta >= costheta implies tantheta >= 1 implies theta >= pi4 . A condição se traduz em coordenadas cilíndricas como:
Além disso, como varia de a , e , isso também influencia os limites de . Porém, para cobrir toda a região , varia de a .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para r^2 <= 4 implies r <= 2 . A condição r costheta <= raiz2 implies r <= raiz2costheta se traduz para:
Além disso, como e , temos:
No entanto, para entre e , é sempre maior ou igual a 2, então o limite superior para é 2.

Passo 5

Vamos determinar agora os limites para r^2 + z^2 <= 4 implies z <= raiz4 - r^2 . A condição se transforma em:
E como , os limites para são de 0 até .

Passo 6

Finalmente, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas usando os limites que encontramos:
integral triplaS 2 z1 + r^2 , dV = integraltheta = pi4^pi2 integralr = 0^2 integralz = 0^raiz4 - r^2 2 z1 + r^2 cdot r , dz , dr , dtheta

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por:
integralpi4^pi2 integral0^2 integral0^raiz4 - r^2 2 z1 + r^2 cdot r , dz , dr , dtheta

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