Considere a integral , onde é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa determinar os limites de integração e escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas para a região sólida . Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas cilíndricas e entender bem os limites que definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar , e , a gente usa (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e mesmo. As relações entre elas são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Vamos analisar os limites para o ângulo . A condição se traduz em coordenadas cilíndricas como:
Além disso, como varia de a , e , isso também influencia os limites de . Porém, para cobrir toda a região , varia de a .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para . A condição se traduz para:
Além disso, como e , temos:
No entanto, para entre e , é sempre maior ou igual a 2, então o limite superior para é 2.

Passo 5

Vamos determinar agora os limites para . A condição se transforma em:
E como , os limites para são de 0 até .

Passo 6

Finalmente, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas usando os limites que encontramos:

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por:

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Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
Considere a região do plano- dada pelo conjunto de pontos tais que e está entre os gráficos de e .
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região .
Calcule o volume do conjunto
Resolva as EDO