Considere a integral
, onde
é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
(b) coordenadas cilíndricas;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa determinar os limites de integração e escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas para a região sólida
. Para isso, vamos usar conhecimentos de coordenadas cilíndricas e entender bem os limites que definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar
,
e
, a gente usa
(a distância do ponto até o eixo
),
(o ângulo em relação ao eixo
) e
mesmo. As relações entre elas são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 3
Vamos analisar os limites para o ângulo
. A condição
se traduz em coordenadas cilíndricas como:
Além disso, como
varia de
a
, e
, isso também influencia os limites de
. Porém, para cobrir toda a região
,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
. A condição
se traduz para:
Além disso, como
e
, temos:
No entanto, para
entre
e
,
é sempre maior ou igual a 2, então o limite superior para
é 2.
Passo 5
Vamos determinar agora os limites para
. A condição
se transforma em:
E como
, os limites para
são de 0 até
.
Passo 6
Finalmente, vamos escrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas usando os limites que encontramos:
Resposta
A integral tripla em coordenadas cilíndricas é dada por:
Exercícios relacionados
Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
© Inverta a ordem de integração que você usou no item (b) (não é necessário resolver novamente a integral dupla).
Considere a região
do plano-
dada pelo conjunto de pontos
tais que
e
está entre os gráficos de
e
.
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região .
(b) Calcule, usando integração dupla, a área da região
Calcule o volume do conjunto
Resolva as EDO