Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que nos foi dada:
Essa equação está relacionada ao estudo de equações diferenciais e, mais especificamente, parece ser uma equação exata ou que pode ser tornada exata. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se podemos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
(a menos que
ou
sejam zero, o que não é o caso geral), a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de
ou
para torná-la exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que seja função de
apenas, ou seja,
. Para isso, usamos a seguinte condição:
Plugando os valores que já calculamos:
Observando a expressão, fica claro que não conseguimos separar as variáveis
e
facilmente. Então, talvez um fator integrante que depende de
seja mais apropriado. Vamos tentar
.
Passo 5
Assumindo
, a condição para a exatidão se torna:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Aqui, ainda temos termos envolvendo
, o que dificulta a separação das variáveis. Parece que essa abordagem não está funcionando. Vamos tentar outra estratégia.
Passo 6
Outra maneira de resolver equações diferenciais não exatas é rearranjá-las para encontrar uma variável dependente. Vamos rearranjar nossa equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tentar resolver separando as variáveis.
Passo 7
Vamos reescrever a equação de forma a separar
e
:
Agora, as variáveis estão separadas, e podemos integrar ambos os lados.
Passo 8
Vamos integrar os dois lados:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição simples. Para o lado direito, vamos também usar uma substituição adequada.
Passo 9
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito, fazemos
, então
. Mas precisamos ajustar para termos
no numerador:
Passo 10
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 11
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo de volta na equação:
Passo 12
Finalmente, para encontrar
, tomamos a tangente dos dois lados:
Usando a identidade trigonométrica
, com
e
:
Portanto, isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto
Considere a integral
, onde
é a região sólida dada por
Determine os limites de integração e escreva as integrais iteradas usando:
(b) coordenadas cilíndricas;
(b) coordenadas cilíndricas;
Resolva as EDO
Mostre que, se
, então,
, para
contínua em
e de ordem exponencial para
, ao passo que
é seccionalmente contínua em
.