Resolva as EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que nos foi dada:
Essa equação está relacionada ao estudo de equações diferenciais e, mais especificamente, parece ser uma equação exata ou que pode ser tornada exata. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata ou se podemos encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculando :
Como (a menos que ou sejam zero, o que não é o caso geral), a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que depende apenas de ou para torná-la exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que seja função de apenas, ou seja, . Para isso, usamos a seguinte condição:
Plugando os valores que já calculamos:
Observando a expressão, fica claro que não conseguimos separar as variáveis e facilmente. Então, talvez um fator integrante que depende de seja mais apropriado. Vamos tentar .

Passo 5

Assumindo , a condição para a exatidão se torna:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Aqui, ainda temos termos envolvendo , o que dificulta a separação das variáveis. Parece que essa abordagem não está funcionando. Vamos tentar outra estratégia.

Passo 6

Outra maneira de resolver equações diferenciais não exatas é rearranjá-las para encontrar uma variável dependente. Vamos rearranjar nossa equação original:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tentar resolver separando as variáveis.

Passo 7

Vamos reescrever a equação de forma a separar e :
Agora, as variáveis estão separadas, e podemos integrar ambos os lados.

Passo 8

Vamos integrar os dois lados:
Para a integral do lado esquerdo, fazemos uma substituição simples. Para o lado direito, vamos também usar uma substituição adequada.

Passo 9

Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito, fazemos , então . Mas precisamos ajustar para termos no numerador:

Passo 10

Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 11

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo de volta na equação:

Passo 12

Finalmente, para encontrar , tomamos a tangente dos dois lados:
Usando a identidade trigonométrica , com e :
Portanto, isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:

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(b) coordenadas cilíndricas;
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