Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial
usando o método de séries de potências. Isso envolve usar uma série infinita para representar a solução e determinar os coeficientes dessa série de forma que a equação diferencial seja satisfeita.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculamos as primeiras e segundas derivadas de
:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem com
:
Para o último termo, fazemos uma mudança de índice
:
Passo 6
Agora, combinamos todas as somas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Então, para
:
E para
:
Passo 8
Resolvemos a recorrência para
:
Isso nos permite encontrar os coeficientes
em termos de
e
, que são nossos termos livres.
Passo 9
Definimos duas soluções diferentes escolhendo
e
para uma solução, e
e
para a outra. Calculando alguns termos, encontramos as duas soluções linearmente independentes.
Resposta
As duas soluções linearmente independentes são dadas por:
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Calcule o volume do conjunto dado
e
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