Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' + y' - x y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar duas soluções linearmente independentes para a equação diferencial usando o método de séries de potências. Isso envolve usar uma série infinita para representar a solução e determinar os coeficientes dessa série de forma que a equação diferencial seja satisfeita.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculamos as primeiras e segundas derivadas de :

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Vamos ajustar os índices para que todas as somas comecem com :
Para o último termo, fazemos uma mudança de índice :

Passo 6

Agora, combinamos todas as somas:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero.

Passo 7

Então, para :
E para :

Passo 8

Resolvemos a recorrência para :
Isso nos permite encontrar os coeficientes em termos de e , que são nossos termos livres.

Passo 9

Definimos duas soluções diferentes escolhendo e para uma solução, e e para a outra. Calculando alguns termos, encontramos as duas soluções linearmente independentes.

Resposta

As duas soluções linearmente independentes são dadas por:

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